APLICACION DE INTEGRALES

Resumen

En este artículo se demuestra una propiedad de las integrales iteradas y su aplicación

Abstract

In this paper one demostrates to a property of the nested integrals and its applications.

Palabras claves: Integrales iteradas, Transformada de Laplace

Keys words: Nested integrals, Laplace transforms,

Introducción

La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable en contraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes.

Para su demostración ver (ver [G. Shilov]).

En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.

Demostración.

Ver [José A. Sánchez _Integrales anidadas]

Propiedades de las transformadas de Laplace usando integrales anidadas

Usaremos la convolución de las funciones

Propiedad 1.

Dem. Usaremos la siguiente propiedad:

(transformada de una convolución)

Aplicando Transformadas a ambos miembros de la ecuación (1) y usando la linealidad de la transformada de Laplace, obtenemos

Utilicemos la propiedad anterior para resolver el siguiente problema de valor inicial

Ejemplo. Resolver el PVI.

Solución:

Despejando e integrando dos veces, usando las condiciones iniciales, se tiene:

Ejemplo 1. Resolver el PVI:

(segunda forma)

Despejando e integrando dos veces, usando las condiciones iniciales, se tiene:

Ejemplo 3. Usando (TL.1) encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes

Ejemplo. Demuestre la fórmula:

...