Anillos

Anillos

Definicion´ Sea R un conjunto de elementos con dos operaciones binarias, adicion´ y multiplicacion´ . Dicho conjunto tendra estructura de anillo si satisface ´ R1 R es un grupo abeliano bajo la adicion. ´ R2 R es asociativa bajo la multiplicacion. ´ R3 La multiplicacion es distributiva respecto la adici ´ on, es decir, para cualquier ´ a, b, c ∈ R a.(b + c) = a.b + a.c (a + b).c = a.c + b.c

Definiciones 1 Un anillo es un anillo con identidad si posee una identidad (tambien llamada unidad) ´ para la multiplicacion, tal que ´ ∀a ∈ R, a,1 = 1.a = a 2 Un anillo es un anillo conmutativo si el producto es conmutativo. 3 Un anillo es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo con identidad e , 0 tal que ab = 0 implica a = 0 o b = 0. 4 Un anillo es un anillo de división

Un ejemplo más a la mano de anillo se puede obtener del conjunto familiar de los números enteros:

... -8, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 8, ...

Provisto de dos de las operaciones binarias: la adición y la multiplicación conocidas desde la matemática escolar. Históricamente, el conjunto ℤ de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo. La razón por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.

2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).

3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.

4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.

5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.

6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × bes un número entero.

7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).

8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.

9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

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