Antidiferenciacion

ANTIDIFERENCIACIÓN

Ya estamos familiarizados con la derivada de una función, operación que recibe el nombre de diferenciación. Por

ejemplo:

( )

( )

( )

Ahora nos interesa conocer el proceso inverso; es decir dada la derivada de una función, determinar la función original.

Es decir nos interesa determinar la operación inversa de la diferenciación (hecho que ya es conocido en matemáticas

para otras operaciones: la operación inversa de la adición es la sustracción; la operación inversa de la multiplicación es

la división).

Dada una función, sabemos cómo hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce

la derivada de una función y se desea conocer la función original, se usa la antidiferenciación o el cálculo integral.

ANTIDIFERENCIACION: Es la operación inversa a la diferenciación.

DEFINICION: Una función F se llama antiderivada de una función f, en un intervalo I, si para todo valor en I, F’(x) = f(x).

Ejemplo: ¿Qué función se derivó para que su derivada sea f´(x) = 4 ?

Solución: Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la función que se derivó es:

F1(x)= 4x , pero también las funciones

F2 (x)=4x+5

F3 (x)=4x-2

F4 (x)=4x-12

F5 (x)=4x+15

F6 (x)=4x+8 , en general

F(x) = 4x+C

Ejemplo: ¿Qué función se derivó para que su derivada sea f´(x) = 2x ?

Solución:

F1(x) = x2 , pero también las funciones

F2(x) = x2 + 1

F3(x) = x2 + 2

F4(x) = x2 + 3

F5(x) = x2 + 4

En general, F(x) = x2 + c es una primitiva de f(x) = 2x ó una antiderivada de 2x ó la integral de 2x es x2 + c

Ejemplo: Calcular la antiderivada, o la función primitiva o la integral de las siguientes funciones:

a. f(x) = 4x4

b. f(x) = 5x3

c. f(x) = 4x2

d. f(x) = 8x

Solución:

a. F(x) = 4x5 + c

5

b. F(x) = 5x4 + c

4

c. F(x) = 4x3 + c

3

d. F(x) = 8x2 + c

2

Entonces, la operación que permite obtener una primitiva de una función dada f se llama integración (antidiferenciación)

y puede considerarse como el proceso inverso de la derivación.

Y al conjunto de todas las primitivas de una función f(x) se le llama integral indefinida de f(x) y se representa por :

∫f(x)dx = F(x) + c

Algunas de las principales reglas de antidiferenciación:

1)  dx  x  C

2)   



 x  C

n 1

1

x dx n n 1 (Si n  -1)

3)  c  f(x) dx  c  

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