COMANDO DE BAYES

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Si A y B son dos eventos, se define la probabilidad de A dado B como la probabilidad de que ocurra el evento A cuando el evento B ya ocurrió o se tiene la certeza de que ocurrirá, y se calcula como

P ( A ⏐B ) = P ( B )

P ( A ∩B ) ; P ( B ) ≠ 0

De la misma manera, se define la probabilidad de B dado A como la probabilidad de que ocurra el evento B cuando el evento A y ocurrió o se tiene la certeza que de ocurrirá. Esta probabilidad se calcula como

P ( B ⏐A ) = P ( A ) P ( A ∩B ) ; P ( A ) ≠ 0

(Regla de la multiplicación )

Si A y B son dos eventos, entonces

P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A ⏐B )

Y también

P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ⏐A )

En una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes probabilidades:

a) La probabilidad de que los dos hijos sean varones.

b) La probabilidad de que si uno de los hijos es varón, los dos lo sean.

RESOLUCIÓN:

Para poder resolver el problema es necesario empezar por definir algunos eventos.

Sean A: el evento de que los dos hijos sean varones, y

B: el evento de que al menos uno de los hijos sea varón.

a) Si observamos en el espacio muestral

S = { (h, h), (h, m), (m, h), (m, m) }

y consideramos que todos los eventos simples son igualmente probables, es claro que

P ( A ) = 1 / 4 = 0.25 y P ( B ) = 3 / 4 = 0.75

b) Se desea calcular P ( A ⏐B ).

Utilizando la definición de probabilidad condicional se obtiene

P ( A ⏐B ) = 3

1

3/4

1/4

P ( B )

P ( A ∩B ) = =

P ( A ⏐B ) = 1 / 3

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad

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