Contaminacion Ambiental Por Tala De Bosques

Cálculos de vectores usando componentes

Utilizar componentes hace relativamente fáciles diversos cálculos que implican vectores.

Veamos tres ejemplos importantes.

1. Cálculo de la magnitud y la dirección de un vector a partir de sus componentes.

Podemos describir un vector plenamente dando su magnitud y dirección, o

bien, sus componentes x y y. Las ecuaciones (1.6) indican cómo obtener las componentes

si conocemos la magnitud y la dirección. También podemos invertir el proceso

y obtener la magnitud y la dirección a partir de las componentes. Aplicando el teorema

de Pitágoras a la figura 1.17b, vemos que la magnitud de un vector es

(1.7)

(Siempre tomamos la raíz positiva.) La ecuación (1.7) es válida para cualesquiera

ejes x y y, siempre y cuando sean perpendiculares entre sí. La expresión para la dirección

vectorial proviene de la definición de la tangente de un ángulo. Si medimos u

desde el eje 1x, y un ángulo positivo se mide hacia el eje 1y (como en la figura

1.17b), entonces

(1.8)

Siempre usaremos la notación arctan para la función tangente inversa. También suele

usarse la notación tan21, y una calculadora podría tener una tecla INV o 2ND para

usarse con la tecla TAN. Microsoft Excel usa ATAN.

CUIDADO Cálculo de la dirección de un vector a partir de sus componentes Hay un

pequeño inconveniente en el uso de las ecuaciones (1.8) para obtener u. Suponga que Ax 5 2 m

y Ay522 m como en la figura 1.20; entonces tan u 5 21. Sin embargo, hay dos ángulos con

tangente 21, 135 y 3158 (o 2458). En general, cualesquiera dos ángulos que difieran en 1808

tienen la misma tangente. Para decidir cuál es correcto, debemos examinar las componentes

individuales. Dado que Ax es positiva y Ay es negativa, el ángulo debe estar en el cuarto cuadrante;

así que u 5 3158 (o 2458) es el valor correcto. La mayoría de las calculadoras de bolsillo

dan arctan (21) 5 2458. En este caso es lo correcto, pero si tuviéramos Ax 5 22 m y

Ay 5 2 m, entonces el ángulo correcto es 1358. Asimismo, si Ax y Ay son negativas, la tangente

es positiva, por lo que el ángulo estará en el tercer cuadrante. Siempre debe hacerse un dibujo,

como la figura 1.20, para verificar cuál de las dos posibilidades es la correcta. ❚

2. Multiplicación de un vector por un escalar. Si multiplicamos un vector por

un escalar c, cada componente del producto es sólo el producto de c por la

componente correspondiente de

(componentes de (1.9)

Por ejemplo, la ecuación (1.9) indica que cada componente del vector es dos

veces mayor que la componente correspondiente del vector de manera que está

en la misma dirección que pero tiene el doble de magnitud. Cada componente del A S

2A S

A S

,

2A S

D S

5 cA S

Dx 5 cAx Dy 5 cAy )

A S

:

D S

5 cA S

A S

tan u 5

Ay

Ax

y u 5 arctan

Ay

Ax

A 5"Ax

2 1 Ay

2

A S

triángulo rectángulo; los otros dos lados del triángulo son las magnitudes

de Ex y Ey, es decir, las componentes x y y de El seno de b

es el cateto opuesto (la magnitud Ex) dividido entre la hipotenusa

(la magnitud E); en tanto que el coseno de b es el cateto adyacente (la

magnitud de Ey) dividido entre la hipotenusa (otra vez, la magnitud E).

Ambas componentes de son positivas, así que

Si hubiéramos usado las ecuaciones (1.6) directamente escribiendo

Ex 5 E cos 37.08 y Ey 5 E sen 37.08, ¡las respuestas para Ex y para Ey

se habrían invertido!

Ey 5

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