Curso: ALGEBRA LINEAL. NÚMEROS COMPLEJOS

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Teorema de De Moivre. Si n es cualquier número entero positivo, y si r y θ son, respectivamente el modulo y el argumento o amplitud de cualquier número complejo, entonces:

r[cos θ + i sen θ)]n = rn (cos nθ + i sen nθ)

Es decir, si n es un número entero positivo, el módulo de la enésima potencia de un número complejo es igual a la enésima potencia del módulo de ese número y la amplitud de la enésima potencia es igual a n veces la amplitud del número.

La radicación o extracción de raíces de un número complejo.

Sea n un numero entero y positivo, r un numero positivo y r1/n su raíz principal enésima que es también un numero positivo único. Consideremos un número complejo con módulo r1/n y amplitud θ/n de modo que su forma polar sea r1/n (cos θ/n + sen θ/n). la enésima potencia de este número será r(cos θ + i sen θ), es decir:

r (cos θ + i sen θ) = [r1/n (cos θ/n + sen θ/n)]-n

Extrayendo la raíz enésima en ambos miembros tenemos:

[r (cos θ + i sen θ)]1/n = r1/n (cos θ/n + sen θ/n)

Para obtener todas las raíces enésimas; para cualquier número complejo, si k es número entero negativo:

r (cos θ + i sen θ) = r [cos (θ + k * 360°) + i  sen (θ + k * 360°)]

Donde el segundo miembro es llamado a veces la forma polar completa o general del número complejo. Extrayendo la raíz enésima en ambos miembros, tenemos:

[r (cos θ + i sen θ)]1/n = r1/n [cos (θ + k * 360°)/n + i  sen (θ + k * 360°)/n]

Teorema 4. Todo número (excepto el cero) real complejo, tiene exactamente n raíces enésimas diferentes.

Si el modulo y el argumento de un numero complejo cualquiera se representa con  r y θ, respectivamente, entonces las n raíces están dadas por la expresión.

r1/n [cos (θ + k * 360°)/n + i  sen (θ + k * 360°)/n]

En donde r1/n representa raíz enésima principal del número positivo t y k toma sucesivamente los valores 0, 1, 2, …, (n -1).

Gráficamente estas raíces son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen y de radio  r1/n .

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