Ecuacuines

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante matemáticas. nota Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general, los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones.

Es tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada.

En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es en realidad una identidad.

Tipos de ecuaciones Las ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:

• Ecuaciones algebraicas

• Polinómicas o polinomiales

• De primer grado o lineales

• De segundo grado o cuadráticas

• Diofánticas o diofantinas

• Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios

• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no Polinómicas, como las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc.

• Ecuaciones diferenciales

• Ordinarias

• En derivadas parciales

• Ecuaciones integrales

• Ecuaciones funcionales

Ecuaciones Polinómicas enteras

Las ecuaciones Polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones Polinómicas

1. Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

(x + 1)2 = x2 – 2 x2 + 2x + 1 = x2 – 2 2x + 1 = -2 2x + 3 = 0

2. Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

ax2 + b = 0

ax2 + bx = 0

Ecuaciones Diofánticas

El término ecuación Diofánticas se usa para designar una ecuación en una o más incógnitas que va a ser resuelta en los enteros. La ecuación Diofánticas más simple es la ecuación Diofánticas lineal en dos incógnitas , donde a y b son enteros dados, no ambos cero.

Ej: La ecuación Diofánticas tiene infinitas soluciones enteras. Algunas de estas soluciones son:

Ej: La ecuación Diofánticas no posee solución debido a que tanto como son números pares. La suma de dos números pares es un número par y 17 es un número impar.

Un criterio para conocer cuando una ecuación Diofánticas de este tipo posee solución lo proporciona el siguiente teorema.

Ecuaciones Polinómicas racionales

Las ecuaciones Polinómicas son de la forma , donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Ejemplos

Ecuación trascendente

Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra

Una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante transformaciones algebraicas se denomina ecuación transcendente

Transformación algebraica

Por transformaciones algebraicas de la ecuación es:

F= 0

Se entiende las siguientes transformaciones:

1. La adición a ambos miembros de la ecuación una misma expresión algebraica

2. La multiplicación de ambos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica.

3. La elevación de ambos miembros de la ecuación mediante un exponente racional.

4. Las ecuaciones trascendentes más simples son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

5. El término trascendente se refiere a que la

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