INFINITESIMOS

INFINITESIMOS

Un infinitésimo es una función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x se aproxima hacia el valor x = a, o dicho de otra forma, una función cuyos valores se aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor a.

Por tanto, en el concepto de infinitésimo hay que tener presente no sólo la función f, sino también el punto a. La función f es infinitésimo, en las proximidades del punto a. Suele decirse que es infinitésimo en x=a.

Una función α=α(x) se dice que es un infinitésimo cuando x → a (ó x →∞, si su limite es cero) es decir

[pic 1]

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PROPIEDADES DE INFENITESIMO

• La suma, resta y producto de 2 ó más infinitésimos, es otro infinitésimo.
• Toda función con limite finito L, es igual a la suma de ese límite más un infinitésimo, es decir:

 es un infinitésimo cuando xa.[pic 2][pic 3]

• El cociente de dos infinitésimos me permite averiguar su orden.
• Cuando no existe el límite del cociente se dice que los infinitésimos no son comparables.

COMPARACION DE INFINITESIMOS

Dos infinitésimos, f(x) y g(x), x→a  son comparables si

[pic 4]

• Son del mismo orden si k≠0, ∞
• F(x) es de orden superior a G(x) (F(x) tiende a 0 “con mayor rapidez”) si [pic 5]
• F(x) es de orden inferior a G(x) si [pic 6]

INFINITESIMOS  EQUIVALENTES

Si      [pic 7]

Las dos funciones f(x) y g(x) tienden hacia a a la misma velocidad, por lo que en las proximidades de a los valores de f(x) y los de g(x) son casi iguales.

En algunos casos, para el cálculo de límites en el origen, podemos sustituir unos por otros  cuando están como factores ( o en sumandos de la forma (1+a)) y con ello obtener una expresión más fácil de manejar.

[pic 8]

ORDEN DE UN INFINITESIMO

Se asigna el orden 1 a un infinitésimo α, llamado infinitésimo principal: el infinitésimo       y = x-a cuando x → a (en particular el y = x si x → 0) y el infinitésimo y =  cuando x → ∞[pic 9]

A partir de esto podemos decir que:

Un infinitésimo f es de orden n respecto de g,  si y sólo si [pic 10]

Así por ejemplo, las funciones potenciales  y = xn  y las funciones y = x1/n son infinitésimos de orden n y 1/n, respectivamente, cuando x → 0.

TEOREMA I

La suma de dos infinitésimos de distinto orden es otro infinitésimo equivalente al orden inferior (cuando x→a ó x→∞).

Demostración

Supongamos que f(x) y g(x) son infinitésimos cuando x→a y que g es de mayor orden q f entonces:

[pic 11]

Luego f(x)+g(x) ≈ f(x) cuando x→a. (análogamente se probaría para x→∞).

Observación

Por inducción, el teorema se puede generalizar para la suma de un número finito de infinitésimos.

Por ejemplo

P(x)=  es un infinitésimo cuando x→0 que es equivalente a f(x)=2x ya que[pic 12]

 [pic 14][pic 13]

Luego

Teorema II

El limite cuando x→a de toda expresión de la forma E(x)f(x) donde f(x) es un infinitésimo cuando x→a, no varia si se sustituye f(x) por un infinitésimo equivalente p(x) que cumpla la condición de ser no nulo en un cierto entorno reducido de a.

Demostración

[pic 15]

Análogamente se probaría para x→∞.

Este teorema se puede generalizar fácilmente a toda expresión de la forma

   donde   son infinitésimos con la condición de ser no nulos en un cierto entorno reducido de a (cuando x→a ó x→∞).[pic 16][pic 17]

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TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE LÍMITE

Veremos algunos teoremas básicos, que nos ayudaran a agilizar el proceso, para determinar el límite de una función en un punto.

TEOREMA I

Sobre la unicidad del limite

El límite de una suma algebraica de dos o más funciones, es igual a la suma algebraica de los límites de estas funciones.

[pic 18]

Demostración

Tomaremos solo dos pero la demostración es análoga para cualquier numero de sumados.

Supongamos que: .[pic 19]

Basándonos en el teorema I sobre infinitésimos podemos escribir:

    donde     y  son infinitésimos. [pic 20][pic 21][pic 22]

Por lo tanto:           .[pic 23]

Puesto que  es una constante y  es un infinitésimo, entonces de acuerdo con el Teorema I resultará que:[pic 24][pic 25]

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