JAVIER GARCIA REZA

11 Pensamiento Aritmético

Explicación del tema

Hemos llegado a acostumbrarnos a la aritmética, está tan enraizada en nuestros modos de pensamiento, que raramente nos ponemos a analizar sus portentos. No deja de ser sorprendente que todo lo que hacemos en aritmética, y consecuentemente en álgebra, es producto de simples reglas del pensamiento. Por ejemplo, la conmutatividad de la suma y de la multiplicación, es decir, operaciones como:

4 + 7 = 7 + 4 = 11 o 7x4 = 4x7 = 28

Aparece una y otra vez en todos nuestros pensamientos matemáticos; una vez que hemos sido entrenados a pensar en estas propiedades básicas, nuestros pensamientos fluyen.

Solo aquellos alumnos que hayan comprendido la lógica detrás de los números, tendrán éxito usándolos adecuadamente. Por ejemplo, para comprender los números naturales, hay que comprender la lógica del mayor y menor, que se encuentra en la naturaleza ordinal de los mismos. Una cosa es que un niño aprenda el “cantadito” del uno al diez, y otra que se dé cuenta de que si 7 es 4 más 3, entonces el 7 es necesariamente mayor que el 4 y que el 3. Es decir, si A es mayor que B y B es mayor que C, entonces A es mayor que C. De igual manera, podemos decir que la cardinalidad de los números es también crucial para su entendimiento.

En un conjunto, cada objeto debe contarse solo una vez; con ello aseguramos que si contamos de izquierda a derecha, de derecha a izquierda o del centro hacia los lados, la cantidad de objetos será la misma. Estas reglas lógicas de ordinalidad y cardinalidad son principios que absolutamente tienen que comprenderse, si se han de manejar adecuadamente los números.

Ejemplo:

Como ejemplos adicionales podríamos hablar del principio de equivalencia de los números racionales. Una fracción que luce completamente diferente a otra puede tener “escondidos” una serie de factores que al simplificarse revela que las fracciones son las mismas, y todo esto queda resumido en la idea de que un número multiplicado y dividido por el mismo número es una identidad multiplicativa.

Los ejemplos pueden continuar, hasta encontrar situaciones en las cuales la mayoría de los alumnos fracasan en entender las reglas lógicas que hay detrás de las operaciones que efectúan. Un ejemplo dramático es el famoso y ampliamente usado menos por menos es más. Pocos estudiantes pueden explicar la razón lógica de esta regla, a pesar de que la usan todo el tiempo. Un poco de pensamiento lógico puede resolver tales misterios:

Si todo número real “a” tiene un inverso aditivo, entonces podemos elegir por ejemplo el “5” y decir que:

5 + (-5) = 0

Si toda igualdad al ser multiplicada por un número, la igualdad se mantiene; entonces tenemos que si elegimos el número -3, nos queda:

5(-3) + (-5)(-3) = 0 (-3)

Si toda cantidad multiplicada por cero es cero, entonces tenemos:

5(-3) + (-5)(-3) = 0

Si sumamos dos cantidades iguales a ambos lados de la igualdad, la igualdad no se altera:

5(-3) + (-5)(-3) + 5(3) = 0 + 5(3)

Pero la suma es conmutativa y, por lo tanto, podemos escribir

5(-3) + 5(3) + (-5)(-3) = 0 + 5(3)

Pero 5(-3) + 5(3) = 0 por ser inversos aditivos.

Entonces

0 + (-5)(-3) = 0 + 5(3)

Y ya sabemos que sumar cero deja la suma inalterada, entonces:

(-5)(-3) = 5(3)

O sea: menos por menos es más.

Quienes tengan paciencia para seguir estos razonamientos se sentirán altamente recompensados al explicar en términos puramente lógicos un hecho matemático que normalmente se vive en forma inexplicable. El punto es que todos estos pasos vistos, uno por uno, ilustran principios perfectamente comprensibles para un alumno ya acostumbrado a operar con números. No se está haciendo más que generalizar situaciones obvias, como:

5(0) = 0

5 + 0 = 5

5 – 5 = 0

5 + 4 + 5 = 5 + 5 +4

Si 3 + 2 = 5, entonces 3(4) + 2(4) = 5(4)

Hemos aprendido todo lo anterior acerca de los números, pero en general no hemos aprendido a usar nuestro pensamiento lógico para llegar a la conclusión de que (-a)(-b) = a; con ello, perdemos la oportunidad de aprender a pensar lógicamente. A primera vista parecería poco importante tomarse todo el esfuerzo de seguir estos razonamientos para finalmente llegar a la conclusión directa de que menos por menos es más. Pero al no hacer esto, la mente no se acostumbra a pensar profundamente y con ello pierde algo de capacidad para confrontar problemas novedosos. En este primer tema del módulo 3, intentaremos pensar un poco usando la aritmética. Ayudados con la tecnología, trabajaremos con grandes cantidades para obtener conclusiones sorprendentes.

Tema 12

Pensamiento Algebraico

Explicación del tema

El pensamiento algebraico es una consecuencia directa del pensamiento aritmético, pero con un elemento crucial: la generalidad. Al resolver problemas con Álgebra, estamos utilizando la Aritmética, pero esta ha quedado escondida detrás de los números específicos que ahora se manejan como variables. Cuando hacemos Aritmética, vemos la suma de dos números específicos (7 + 5), y de inmediato sabemos cómo reducir esta expresión a un solo numeral (12). Sin embargo, muchas veces no vamos a saber específicamente cuáles son las cantidades que se suman, solo sabemos que hay dos cantidades sumando y, por lo tanto, podemos expresarlas simplemente como a + b. Para saber a qué números específicos corresponden esta “a” y esta “b”, habrá que conocer más sobre las condiciones del problema.

El Álgebra finalmente no es más que la abstracción y sistematización del sentido común de la Aritmética. Cuando hacemos Álgebra, no hacemos otra cosa que Aritmética sublimada; es decir, Aritmética a un nivel de abstracción superior.

Todo lo que hacemos en Álgebra no es producto de reglas caprichosas, sino consecuencia directa del sentido común, sentidos que están dispuestos a aceptar como verdades absolutas en la Aritmética. Decir que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 no es otra cosa que decir que la suma de dos números cualquiera es igual al cuadrado del primero, más el doble producto de ellos, más el cuadrado del segundo. Por ejemplo: (7 + 5)2 = 72 + 2(7)(5) + 52. O sea que 122= 49 + 70 + 25= 144.

Absolutamente todo lo que se hace en Álgebra puede justificarse con los números concretos de la Aritmética.

Sin embargo, a pesar de ser hija de la Aritmética, el Álgebra es mucho más poderosa que su madre, como puede verse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Casi todos hemos jugado el famoso acertijo de: piensa un número, multiplícalo por dos, auméntale 8… Generalmente nos hemos quedado sorprendidos (al menos la primera vez que lo experimentamos) de su resultado. Usemos este simple ejemplo para ilustrar el poder de abstracción del Álgebra como herramienta mental para manipular situaciones complejas.

Haremos este juego con dos personajes: Juan sin Álgebra y Juan con Álgebra

Como resultado de este juego, Juan sin Álgebra se queda estupefacto, y pide hacer el experimento de nuevo para quedar estupefacto de nuevo, mientras que Juan con Álgebra sabe perfectamente cuál es el truco verbal detrás de todo esto. Sabiendo esto Juan con Álgebra puede representar situaciones mucho más complejas, pues sabe que necesita simplemente imaginar un número “Y”, que sea justamente divisible por un número “a”, para realizar todo el show. Por ejemplo 48 y 12:

Ejercicio 12

Instrucciones

1. Lee la siguiente situación:

Los números decimales son de dos tipos, principalmente aquellos cuyas cifras son predecibles (periódicos), es decir, que se puede saber con anticipación cuál será el siguiente número en la secuencia dado cierto patrón, y números en los cuales no se puede predecir cuál es el siguiente número en la secuencia. A los primeros se les llama racionales (esto es, se pueden expresar como razón o fracción), y a los segundos se les llama irracionales (esto es, no se pueden expresar como fracción).

Hay números muy comunes con decimales periódicos. El más famoso es 0.333- el cual se puede expresar como una fracción 1/3 = 0.333.

Hay números muy famosos también, que no se pueden expresar como una fracción:

π = 3.14159265359…

Si conocemos un número con decimales periódicos ¿cómo podemos saber a qué fracción corresponde?

Pensemos en 0.333, si multiplicamos este número por 10, tenemos: 3.333.-

Y la resta de este último con 0.333 nos da la cantidad 3.

En álgebra esto queda como: 10 N – N = 3. De la cual se puede desprender que N es igual a 1/3

Pero no todo es tan simple:

2. ¿A qué fracción le corresponde el decimal 0.1232323-?

3. Ahora, supongamos que tienen 100 pesos y los invierten al 10 % mensual y no retiran nada del capital acumulado.

Entonces, en el primer mes tienen: 100 + 100(0.1) = 110 pesos

En el segundo mes tienen: 110 + 110(0.1) = 121

En el tercer mes tienen: 121 + 121 (0.1) = 133.1

Llamando a la cantidad inicial invertida “A” y al interés “x”, encuentra una fórmula algebraica para representar esta situación y calcula cuánto dinero tendrás después de

...