La Mosca Caprichosa

La Mosca Caprichosa

Enunciado:

Sobre una de las monedas se ha posado una mosca. Ésta se ha propuesto recorrer las 25 monedas, saltando de una a otra contigua horizontalmente o verticalmente (no en diagonal), y de modo que no pase dos veces por la misma moneda. ¿Podrá conseguirlo?. Si es así, describe un recorrido posible.

¿Qué ocurriría si partiera de otra moneda diferente?.

¿Podrá conseguirlo siempre?. ¿No podrá conseguirlo nunca?. ¿Partiendo de unas monedas, sí; pero de otras, no?.

Solución:

También es éste un juego de tipo solitario. El alumno deberá intentar el recorrido desde diferentes posiciones, coloreando en blanco las monedas desde las que es posible conseguirlo, y en negro aquéllas de las que piensa que no es posible. Pronto obtendrá una figura como la de abajo.

Si coloreamos las monedas con los colores blanco, negro, como en un tablero de ajedrez, empezando con blanco para la moneda de la esquina superior izquierda, habrá 13 monedas coloreadas de blanco y 12 de negro.

Cualquier salto de la mosca le lleva de una de un color a otra de diferente color. Un recorrido completo, como el que se pide sólo es posible empezando en una moneda de color blanco: BNBNBNBNBNBNBNBNBNBNBNBNB (13 blancas y 12 negras).

El recorrido pedido no es posible empezando en una moneda coloreada en negra, ya que sólo hay 12 de ellas.

En definitiva, la siguiente figura muestra, coloreadas en blanco, las monedas desde las que puede iniciarse un recorrido como el pedido:

La demostración de este resultado es un ejemplo de cómo “demostrar” no tiene por qué ser realizar complicados cálculos. En realidad hay poco de matemáticas al uso en ella. Existen, además otros problemas de este tipo que se demuestran con métodos de coloreado parecidos.

En general, el recorrido pedido será posible desde cualquier moneda, si el producto mxn es par. Si es impar la situación es análoga a la del caso 5x5.

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