Trigonometri

Trigonometría

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegación, búsqueda

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonómetricas de esos ángulos que se forman por los varios movimientos que se realizan.

Contenido

[ocultar]

• 1 Unidades angulares

• 2 Las funciones trigonométricas

o 2.1 Razones trigonométricas

o 2.2 Razones trigonométricas recíprocas

o 2.3 Otras funciones trigonométricas

o 2.4 Funciones trigonométricas inversas

• 3 Valor de las funciones trigonométricas

• 4 Sentido de las funciones trigonométricas

o 4.1 Primer cuadrante

o 4.2 Segundo cuadrante

o 4.3 Tercer cuadrante

o 4.4 Cuarto cuadrante

• 5 Representación gráfica

• 6 Cálculo de algunos casos

o 6.1 Para 90-α

o 6.2 Para 90+α

o 6.3 Para 180-α

o 6.4 Para 180+α

o 6.5 Para 270-α

o 6.6 Para 270+α

o 6.7 Para -α

• 7 Identidades trigonométricas

o 7.1 Recíprocas

o 7.2 De división

o 7.3 Por el teorema de Pitágoras

o 7.4 Suma y diferencia de dos ángulos

o 7.5 Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos

o 7.6 Producto del seno y coseno de dos ángulos

o 7.7 Ángulo doble

o 7.8 Ángulo mitad

o 7.9 Otras identidades trigonométricas

• 8 Seno y coseno, funciones complejas

• 9 Véase también

• 10 Referencias

• 11 Bibliografía

• 12 Enlaces externos

[editar] Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

• Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.

• Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

• Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Transportador en radianes.

Transportador en grados sexagesimales.

Transportador en grados centesimales

[editar] Las funciones trigonométricas

Artículo principal: Función trigonométrica

La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

[editar] Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "senos" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

[editar] Razones trigonométricas recíprocas

• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

• La Secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

• La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación geométrica es:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

[editar] Otras funciones trigonométricas

Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:

El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:

El coverseno,

El semicoverseno

El exsecante:

[editar] Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

y es igual al seno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

y es igual al coseno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

y es igual al tangente de x, la función inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

[editar] Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Circunferencia en radianes.

Circunferencia en grados sexagesimales.

Radianes

Grados sexag.

seno

coseno

tangente

cosecante

secante

cotangente

Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

[editar] Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

tenemos:

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

[editar] Primer cuadrante

Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo,

...