Unoi

Factorar un Monomio:

En este busca los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b

➋ Factor Común Monomio:

En este caso busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal (a) esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a (a + 2)

➌ Factor Común Polinomio:

En este caso en ambos términos tu factor que se repite es

(a + b), entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x (a + b) + m (a + b) = (x + m) ( a + b)

➍ Factor Común por Agrupación de Términos:

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) =

(x + y)(a + b)

➎ Trinomio Cuadrado Perfecto m² + 2m + 1

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

El Cuadrado del 1er Termino + 2 Veces el 1ro por el 2do + el Cuadrado del 2do

a² + 2ab + b² = (a + b)² TCP

Factorar: m² +2m +1 Checa la regla anterior si cumple será un TCP

m² +2m +1 = (m + 1)² TCP si cumple

➏ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b²

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados

a² - b² = (a - b) (a + b)

4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)

➐ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c² =

[(a + b) + c] [(a + b) - c] =

(a + b + c) (a + b – c)

➑ Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12

Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática

(x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x:

x = - 4

x = - 3

➒ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x - 2

Mira:

1ro) multiplica los términos de los extremos de tu trinomio (6x²) (-2) = -12x²

2do) Basándote en el coeficiente del segundo termino (-x) = -1 y en el resultado del 1er paso, vamos a buscar 2 números que sumados me den (-1) y multiplicados me den (-12x²)

3ro) esos numero son (-4x) y (3x), sumados, me dan (-1) y multiplicados me dan (-12x²)

4to) ahora acomoda dentro de un paréntesis el 1er termino de tu trinomio con el 1er factor encontrado (-4), (6x² - 4x)

5to) acomoda el 2do factor encontrado (-3x) con el 3er termino de tu trinomio (-2); (3x-2)

6to) acomoda los 2 términos nuevos (6x² - 4x) + (3x-2), encuentra algún termino común en cada uno

2x (3x - 2) + 1(3x-2), los términos comunes ponlos en otro paréntesis y elimina un termino de los 2 que tienes (3x-2),

Este será tu Factorización (2x+1) (3x-2),

➓ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³

Suma de Cubos:

a³ + b³ = (a + b) (a² - 2ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)

El cuadrado del 1er termino, - el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino (a² - 2ab + b²)

Diferencia de Cubos:

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, + el producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino (a² + 2ab + b²)

FACTOR COMÚN

Procedimiento:

1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)

2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

Ejemplos:

'Factorización'

'Factorización'

Factorización

FACTOR COMÚN POR GRUPOS

Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.

Procedimiento

1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.

2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.

3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplos:

'Factorización'

'Factorización'

Factorización

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

'Factorización'

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.

Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.

2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,

3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.

OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:

Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

Factorización

Ejemplos:

1)

'Factorización'

2)

'Factorización'

Factorización

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Recuerdo: “Cubo de un Binomio”

'Factorización'

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos

Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.

2° Paso:

Luego calculo:

el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda

el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda

Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,

3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:

Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.

Factorización

Ejemplos:

1)

'Factorización'

2)

'Factorización'

Factorización

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

'Factorización'

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.

2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

Ejemplos:

1)

'Factorización'

2)

'Factorización'

Factorización

DIVISIBILIDAD

Este caso consiste en hallar los divisores del polinomio dado. Esto lo efectuamos mediante la siguiente propiedad.

“Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dicho polinomio es divisible por (x-a), es decir que, al dividir P(x) por (x-a), el resto de la división es cero”

Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0

En símbolos:

P(x) (x-a)

C(x)

Cálculo de las raíces de un polinomio:

Para calcular la raíces de un polinomio en el cual figura una sola incógnita, elevada a una potencia, podemos calcular su raíz igualando a cero y resolviendo esa ecuación.

Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la incógnita dos veces (una elevada al cuadrado y otra con exponente 1, podemos calcular sus raíces aplicando la resolvente.

Factorización

En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos ya saben factorizar un polinomio de este tipo.

Entonces:

'Factorización'

Ahora si nos encontramos con un polinomio de grado mayor que dos, y la incógnita aparece más de una vez, podemos calcular sus raíces mediante el Teorema de Gauss, que si bien no nos asegura exactamente cuáles son sus raíces, nos da un número finito de raíces posibles.

Teorema de Gauss:

Este teorema nos parece conveniente explicarlo a través de un ejemplo, ya que el teorema enunciado en forma general nos parece demasiado complicado para que los alumnos puedan entenderlo.

'Factorización'as.

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