Cuando x se aproxima a

Cuando x se aproxima a

Si el valor de f x se acerca arbitrariamente a a cuando x se aproxima a a minúscula en notación matemática esto se expresa a si lim f(x)=A x-infinito

Por ejemplo lim x cuadrada = 9 ya que x cuadrada se aproxima arbitrariamente a 9 a medida que x se aproxima a 3 tanto como se desea

Ejemplo en cuaderno # 1

La definición puede plantearse en lenguaje algebraico de la manera siguiente

Ejemplo #2

Si y solo si para cualquier numero seleccionado S aunque sea pequeño existe un numero positivo E tal que siempre.

Limites por la derecha y la izquierda

Los limites laterales f de x cuando x se aproxima a a por el lado derecho o por el lado izquierdo,

Ejemplo # 3

Se entiende que f esta definida en algún intervalo abierto (c,a) y f de x se aproxima a A mayúscula cuando x se acerca a a , es decir cuando x tiende a a por la izquierda. De igual forma

Ejemplo # 4

Significa que a esta encerrada en algún intervalo

(a,d) y f de x tiende a mayúscula cuando x se aproxima a a por la derecha si f esta contenida en un intervalo a la izquierda de a en un intervalo a la derecha de a, entonces la afirmación

Ejemplo # 5

Equivale a la afirmación de las dos.

Ejmplo #6

Tiene un intervalo a -3<= a x<=3 como dominio si a minúscula es cualquier numero del intervalo (-3,3) entonces

Ejemplo #7

Existe y es igual a la raíz de 9 menos a al cuadrado ahora considera a=3 sea x que tiende por la izquierda .

Sea x que tiende a 3 por la izquierda.,

Ejemplo #7

Para x > que 3 raiz no esta definida ya que x-x cuadrada es negativa por lo tanto

Ejemplo #8

Teoremas sobre limites

Ejmplo#9

INFINITO

Ejemplo 10

Que significa cuando x equivale a a a la postre de f de x poco a poco se vuelve mayor que cualquier numero positivo previamente determinado por mas grande que este fuera .

En este caso f de x tiende a mas infinito cuando x se aproxima a a.

Mas exactamente

Ejemplo #10

Si y solo si para cualquier numero positivo N existe un numero positivo delta tal que

Ejemplo #11

De igual modo

Ejemplo#10

Significa cuando x tiende a a f de x se vuelve mayor que cualquier numero negativo previamente asignado en ese caso se dice que f de x tiende a menos infinito cuando x tiende a a

Ejemplo# 12

Lo que significa que cuando x tiende a a el valor absoluto pogresivamente se vuelve mayor que todo numero previamente asignado por lo tanto si y solo si

Ejemplo #13

Derivadas

Notación delta

Taf una función :es usual asignarle a x cualquier argumento de f , y a y El valor correspondiente en f considere cualquier numero subíndice 0 en el dominio de f sea delta x (se lee delta xun pequeño cambio en el valor de x , de x 0 a x0 + delta x, y sea delta y el cambio correspondiente en el valor de y con lo que

Ejemplo #14

Entonces la razón

Ejemplo #15

Se denomina tasa o razón de cambio o de cambio promedio de la función f en el intervalo que va x0 a x0 + delta x

Sea

Ejemplo#16

Del cambio correspondiente en y

Ejemplo #17

Por lo tanto la tasa promedio en y en el intervalo que hay x =1 y x=1.5

Ejemplo #18

Derivada

Si y =fx y x0 esta en los dominios de f , entonces la tasa de cambio instantania de f en f0 se entiende el limite de la tasa promedio de cambio entre x0 y x0+ delta x

Notación para derivadas. Considera la derivada para f en un punto arbitrario x en su dominio

Ejemplo #19

El valor de la derivada es una función en x y se indicara en cualquiera de las expresiones siguientes

Ejemplo #20

El valor de la derivada en f en un punto especifico a en ocaciones se indica mediante

Las leyes de la física indican que si un cuerpo material cae libremente a una distancia de s pies en 3 segundos entonces s =16t cuadrada

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