Biografia Georg Cantor

BIOGRAFIA GEORG CANTOR (1845 – 1918).

El enfoque intuitivo de la teoría de conjuntos se realizo en tiempos del matemático ruso Gerog Cantor, quien definió un conjunto en 1895, en una forma comparable a las nociones intuitivas de clase, colección y agregado. Sin embargo su definición fue uno de los obstáculos que Cantor no fue capaz de eliminar completamente de su teoría de conjuntos.

En la década de 1870, cuando Cantor estaba estudiando las series trigonométricas y las series de números reales, necesitaba una forma para comparar el tamaño de los conjutnso infinitos de números. Su estudio del infinito como una realidad, que está en el mismo nivel que lo finito, fue realmente revolucionario. Parte de su trabajo fue rechazado ya que resultó ser mucho más abstracto de lo acostumbrado por muchos matemáticos de su tiempo. Sin embargo, su trabajo ganó la suficiente aceptación para que en 1890 la teoría de conjuntos, tanto finita como infinita, fuera considerada una rama de las matemáticas por derecho propio.

Si bien, al terminar el siglo, la teoría era aceptada ampliamente, en 1901 la paradoja ahora conocida como la paradoja de Russell mostró que la teoría de conjuntos propuesta originalmente tenía una inconsistencia interna. La dificultad parecía residir en la falta de restricciones al definir los conjuntos; la idea que un conjunto pudiera ser elemento de si mismo fue considerada particularmente sospechosa. En su trabajo Principia Mathematica, los matemáticos británicos Lord Bertrand Arthur William Russell (1872 – 1970) y Alfred North Whitehead (1861 – 1947) desarrollaron una jerarquía en la teoría de conjuntos conocida como la teoría de tipos. Esta teoría axiomática de los conjuntos entre otras formulaciones del siglo veinte, evitaba la paradoja de Russell. Además de su trabajo en matemáticas, Russell escribió libros sobre filosofía, física y sobre sus opiniones políticas. Su gran talento literario fue reconocido en 1950 cuando ganó el premio Nobel de Literatura.

El descubrimiento de la paradoja de Russell, aun cuando se pudo remediar, tuvo un profundo impacto en la comunidad matemática, ya que muchos comenzaron a preguntarse si habría otras contradicciones ocultas. En 1931 el matemático y lógico austriaco Kurt Gödel (1906 – 1978) formulo la idea de que “en una condición de consistencia dada, cualquier sistema axiomático formal suficientemente fuerte debe contener una proposición tal que ni ésta ni su negación sea demostrable y tal que cualquier demostración de consistencia del sistema debe usar ideas de métodos que están más allá de los propios del sistema en sí”. De esto aprendimos, lamentablemente, que no podemos establecer, de forma rigurosa desde el punto de vista matemático, que no existen contradicciones en matemáticas. Pero a pesar de esta “prueba de Gödel”, la investigación matemática continúa; de hecho,

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