ARMANDO BENITEZ CARDENAS..

DEDICATORIA.

A dios, mis padres y mis hermanos, quienes han sido la guía en el camino para poder llegar a este punto de mi carrera. A ellos por ser proveedores de fuerza, voluntad de ganas de seguir  adelante, sin importar cuán dura sea la meta.

ARMANDO BENITEZ CARDENAS

Dedico este trabajo a mis padres puesto que me brindaron apoyo y fortaleza en el desarrollo y transcurso de este, y a mis compañeros de trabajo que nos ayudamos a concluir satisfactoriamente nuestro proyecto.

CINTHYA CITLALI FLORES RANGEL.

Agradezco hoy y siempre a dios, mis padres y hermanos, por estar conmigo en cada paso que doy, por apoyarme en mis estudios, por brindarme su apoyo cuando lo necesito y por darme la fortaleza de seguir adelante.

EDUARDO GÓMEZ AQUINO.

A mi madre que gracias a todo su apoyo incondicional he llegado hasta donde estoy, a mi hermana que me ha aconsejado y guiado por el bien y a mi novia que está en las buenas y malas y sobre todo me llena de amor y felicidad.

RAMSES JIMENEZ MEDRANO.

A mis padres y hermanos; y principalmente a todos mis compañeros de equipo;

Porque sin su apoyo y esfuerzo este trabajo no hubiese sido posible.

LUZ VANESSA MEDINA VILLALVA.

A mis padres, hermanos, familiares y amigos por demostrarme su incondicional apoyo para lograr uno de tantos y más importante de mis objetivos en esta vida.

KARLA ITZEL RENTERIA REYES.

A todas esas personas que me han apoyado;

 Familiares como amigos.

FRANK DAVID ROSAS CARMONA.

ÍNDICE.

1. INTRODUCCIÓN.

[pic 1]

[pic 2]

CAPÍTULO 1: PROGRESIONES.

1. PROGRESIONES.^[1]

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión.

Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

1.1 Aritméticas.

Una progresión aritmética es una sucesión finita de números llamados términos, en la que cualquiera de ellos difiere del anterior en una cantidad fija d, denominada incremento o diferencia común, por ejemplo:

      6, 11, 16, 21… es una progresión aritmética cuya diferencia común es 5.

      30, 25, 20, 15… es una progresión aritmética cuya diferencia común es -5

Serie es una suma de infinitos términos ligados por determinada ley de conformación. Una serie aritmética es aquella en la que cada término difiere del anterior, en una cantidad fija.

Si se designa por a el primer término, por d la diferencia constante y por n el número de términos de la misma, la progresión generada es así:

[pic 3]

El ultimo o n-ésimo término acostumbra designarse por u, y su expresión por función del primer término, el número de términos y la diferencia  común, es dada por:

[pic 4]

Suma de los términos de una progresión aritmética. Sea la progresión:

[pic 5]

Su suma S es:

[pic 6]

Escribiendo la misma progresión, invirtiendo el orden de los términos y usando las dos igualdades se muestra que:

[pic 7]

Esta fórmula da el valor de S en función del primer término, el número de términos y la diferencia constante.

Si  en la expresión , se remplaza  (ultimo termino) se tiene:[pic 8][pic 9]

[pic 10]

^[2]La suma de los términos  de una progresión aritmética es igual a  veces la media aritmética de los términos primero y último, siendo  el número de términos.[pic 11][pic 12]

Interpolación lineal: Si entre dos números desea interpolarse términos, de modo que con los dos números dados formen una progresión aritmética, se tendrá, designado por  y  los dos números dados:[pic 13][pic 14][pic 15]

Primer término [pic 16]

Último término [pic 17]

Número de términos [pic 18]

, siendo  la diferencia constante, despejando [pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Ejemplo 14 interpolar entre 3 y 5, 4 términos, de modo que formen una progresión aritmética.

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

^[3]La progresión es:[pic 26]

1.2 Geométricas^[4].

La progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que dos números consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o una razón común. En otras palabras, esto quiere decir que cualquier término posterior puede ser obtenido del anterior multiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón común.

Por ejemplo:        

3, 6, 12, 24, 48… es una progresión geométrica cuya razón común es 2.

-2, 8, -32, 128… es una progresión geométrica cuya razón común es -4.

t, tr, tr2, tr3, tr4… es una progresión geométrica cuya razón común es r.

Obtención de Formulas:

Nomenclatura:

a = Primero termino

r = La razón

n = Número de términos

L = Ultimo termino

S = La suma de los términos

Veamos el comportamiento de una progresión de:

1. Cuatro términos

a, ar, ar2, ar3

1. Cinco términos^[5]

a, ar, ar2, ar3, ar4,

1. Seis términos

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5,….

1. Siete términos

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6,….

1. Ocho términos

a, ar, ar2, ar3, ar4, ar5, ar6, ar7,….

Como se puede observar en los ejemplos anteriores el último término (u) de cualquier progresión se obtiene mediante la expresión:

u = arn– 1

        En una progresión geométrica, la razón queda determinada por la relación:

[pic 27]

(k es un número natural que indica el orden de cualquier término)

Si presentamos con S la suma de los primeros términos n de la progresión geométrica:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4+…. + arn -2 + arn-1

 esto es que:

S= a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …. + arn -2 + arn-1

...