Atractores

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

“UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA”

“D-01” TSU ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS

CÁLCULO NUMÉRICO

Atractores

PROFESOR:

Larry Mora

Caracas, Julio de 2.013

DESARROLLO

DEFINICIÓN DE ATRACTORES

El comportamiento de los sistemas dinámicos es difícil de expresar mediante soluciones explicitas, el espacio de fases proporciona, una herramienta poderosa para poder describir el comportamientos de estos. La utilidad de la imagen obtenida reside en la posibilidad de representar el comportamiento de una manera geométrica, un péndulo con roce termina por detenerse, lo que significa que el sistema tiende hacia un punto del espacio de fases, que permanece fijo, y por atraer a los valores de la variable medida (posición, velocidad, entre otras), recibe el nombre de atractor, este es definido como una pauta geométrica que aparece al representar la evolución de un sistema en un espacio de fases, posee propiedades matemáticas que indican, en ciertos casos, soluciones permanentes de ecuaciones.

Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo (algo que se mueve porque pasa el tiempo). Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad (es un objeto geométrico que generaliza las curvas y las superficies a todas las dimensiones) o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos.

La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser periódica, caótica o de cualquier otro tipo.

Ejemplo: Estos son dos fractales, el de la izquierda se llama atractor de Rösler, y el de la derecha casi es su inversa (lo contrario), es un repulsor. Es decir, el primero atrae como un pozo, y el segundo repele como una fuente.

TIPOS DE ATRACTORES

Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico. Hasta los años 60, se creyó que los atractores eran conjuntos geométricos del espacio de fases (puntos, líneas, superficies o volúmenes) y que los conjuntos topológicamente extraños eran frágiles anomalías. Stephen Smale demostró que su mapa de herradura de caballo (herradura de Smale) era estructuralmente robusta y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor.

Al analizar las estructuras de los sistemas, se han encontrado varios tipos de sistemas, clasificados según el atractor que lo caracteriza:

El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.

Atractores clásicos

En los atractores clásicos, todas las trayectorias convergen en un único punto, es decir, todas las trayectorias terminan en un estado estacionario.

Punto fijo

Un punto fijo o punto de equilibrio es el punto correspondiente al estado del sistema que permanece constante el tiempo. Es un sistema de serie convergente, donde el sistema tiende hacia un valor determinado, estable y constante. Estos son caracterizados por un atractor de punto al cual se aproximan las trayectorias temporales. Ejemplos: el estado final de una piedra que cae, un péndulo o un vaso con agua.

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