ATRACTORES EXTRAÑOS

1. ATRACTORES:

1.1 Definición: Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo está implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.

Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta es errabunda alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.

1.2 Clasificación: De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, son tres los tipos básicos de atractores que podemos encontrar en cualquier sistemas dinámico, pueden ser clasificados como:

1.2.1. Periódicos

1.2.2. Cuasi-periódicos

1.2.3. Extraños.

Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas.

1.2.1. Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores no considerados.

1.2.2. Un atractor Cuasi-periódico, por ejemplo en un lago donde cohabiten lucios y carpas ocurrirá que hay temporadas de carpas en abundancia dada la escases de lucios, tal abundancia hará que la población de lucios aumente ya que cuentan con alimento, cuando la población de lucios haya aumentado ocurrirá que la población de carpas decrecerá debido a la elevada cantidad de depredadores, pero con el tiempo la población de lucios se reducirá por la falta de alimentos, en consecuencia nuevamente la población de carpas aumentara y así reiniciando nuevamente el ciclo. Las dinámicas relacionales entre depredador y presa nos da pie a pensar en la existencia de ciclos límites que rivalicen entre sí.

1.2.3. Un atractor extraño es un atractor no periódico, el cual no se repite jamás. Su órbita nunca se cruza con otra anterior. Se trata de un número infinito de curvas y superficies, encerradas en un espacio finito, y en el que pueden detectarse los movimientos básicos descritos por la Topología de estiramiento, comprensión y torcimiento. Se trata de la “especie de entramado, de tejido, de red de mallas infinitamente fina” que vislumbro Poicare en el problema de la estabilidad del sistema solar.

2. ATRACTORES EXTRAÑOS:

2.1 Definición: La mayoría de los tipos de movimientos mencionados en la teoría anterior suceden alrededor de atractores muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos límite. En cambio, el movimiento caótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, que pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz.

El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa.

Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon).

Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente, de tipo Conjunto de Julia, la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño.

Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura de fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en dos o incluso una dimensión.

En matemáticas, la Poincaré-Bendixson permite determinar el comportamiento a largo plazo de la " órbita de un sistema dinámico plana continua

Existen varias expresiones matemáticas de estos atractores, que construyen líneas, formas, espacios y sistemas, y que dependen del "entorno de atracción" que les influye. Hay atractores de Rössler, de Julia, de Hausdorff, en fin, distintas fórmulas matemáticas para explicar modelos complejos y dinámicos.

Esas ecuaciones, sin embargo, también han sido utilizadas para crear figuras y formas, que digitalizadas y coloreadas, terminan resultando en interesantes imágenes abstractas. Varios físicos y matemáticos, además de artistas, han logrado figuras de sutil belleza, muy propias del mundo cibernético. Todo gracias al caos.

2.2. Propiedades:

Las propiedades de los atractores extraños son básicamente tres:

 No pueden descomponerse en porciones menores.

 Existe una notable irregularidad en la estructura física o dimensión del atractor, por lo que tiene una dimensión no entera, violando, por ejemplo, las leyes del espacio euclidiano.

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