Capacitancia

TEMA 5. CAPACIDAD Y CONDENSADORES.

5.1.- CAPACIDAD.

Uno de los usos más antiguos de los conductores en la electrostática fue para el almacenamiento de la carga eléctrica; el conductor puede ser cargado, por ejemplo, al proporcionarle un potencial definido por medio de un agente externo. Para tal aplicación, resulta de interés encontrar la capacidad del conductor para almacenar carga. Considerando un conductor aislado y en el vacío con una carga Q, dicho conductor tendrá un potencial V que será proporcional a la carga. La relación Q/V es una cantidad constante independiente de la carga, ya que si aumentamos la carga en un factor , aumentará en el mismo factor el potencial eléctrico, manteniendose constante la relación Q/V. Esto es válido para todo conductor cargado cualquiera que sea su forma geométrica. En consecuencia, se define la capacidad C de un conductor como el cociente entre su carga y su potencial

(5.1)

que será una propiedad definida del conductor y relacionada con su geometría.

Por ejemplo, la capacidad de un conductor esférico de radio R y carga Q rodeado de vacio es

La unidad de la capacidad en el SI es el faradio que se define como “la capacidad de un conductor que con la carga de un culombio adquiere el potencial de un voltio”.

El faradio es una unidad muy grande (la Tierra tiene una capacidad de unos 700 microfaradios), por lo que en la práctica se utilizan más sus submultiplos: microfaradio, nanofaradio y picofaradio.

El concepto de capacidad puede extenderse a un sistema de conductores. Considerese dos conductores que están afectados por fenómenos de influencia total, o sea, dos conductores con cargas +Q y (Fig.5.1). Si sus potenciales son respectivamente, la capacidad del sistema vale

(5.2)

A cualesquiera dos conductores con la disposición anteriormente expresada se denomina condensador y a los conductores que lo forman láminas o armaduras.

Los condensadores se usan comunmente en una gran variedad de circuitos eléctricos; por ejemplo, para sintonizar las frecuencias de los receptores de radio, como filtros en las fuentes, para eliminar el chisporroteo en los sistemas de ignición de los automóviles, como dispositivos de almacenamiento de energía en las unidades electrónicas de destello, etc.

5.2.- CALCULO DE LA CAPACIDAD DE ALGUNOS TIPOS DE CONDENSADORES.

A) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR DE LAMINAS PARALELAS.

Un condensador de láminas paralelas o condensador plano está formado por dos placas paralelas, de igual área, separadas una distancia l, en donde una de las placas tiene una carga +Q y la otra tiene una carga (Fig.5.2), siendo los potenciales eléctricos y respectivamente.

La carga por unidad de área, en cualquiera de las dos placas es Q/S. Si las placas están muy próximas entre si (en comparación con su longitud y anchura) se pueden despreciar los efectos en los extremos y suponer que el campo eléctrico es uniforme entre ellas y cero en todos los demas puntos. Así el módulo del campo eléctrico entre las placas según (3.49) es

y la diferencia de potencial entre las placas según (3.50) vale

sustituyendo la diferencia de potencial en (5.2) resulta

(5.3)

Esto significa que la capacidad de un condensador de láminas paralelas es proporcional al área de estas e inversamente proporcional a la separación entre las placas.

En la práctica, resulta imposible construir un condensador plano con placas de dimesiones infinitas (condición necesaria para que la influencia sea total). No obstante, la expresión (5.3) constituye una buena aproximación en el caso de un condensador plano y de un condensador de forma cualquiera con armaduras de superficie S, siempre que las dimensiones de las armaduras sean muy superiores a la distancia constante l que las separa.

B) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR CILINDRICO.

Un condensador cilíndrico esta formado por un conductor cilíndrico de radio "a", densidad de carga uniforme y carga , que es concéntrico con un cascarón cilíndrico más grande de radio "b" y carga también uniformente cargado (Fig.5.3), estando cada conductor a los potenciales eléctricos y respectivamente.

Si se supone que l es grande en comparación con a y b, pueden despreciarse los efectos en los extremos. En este caso el campo es perpendicular al eje de los cilindros y está confinado en la región entre ellas. Primero se calcula la diferencia de potencial entre los dos cilindros aplicando (3.10), en donde el campo eléctrico es el de la región a<r<b. El módulo de este campo eléctrico viene dado por (3.39) que es válido en este caso, ya que el cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico que existe en la superficie gaussiana. Luego

Se observa pues que la diferencia de potencial sale positiva, puesto que el cilindro interior está al potencial mas elevado. Luego sustituyendo en (5.2)

(5.4)

El resultado obtenido para la capacidad tiene sentido puesto que indica que la capacidad es proporcional a la longitud de los cilindros. Lógicamente, la capacidad depende también de los radios de los dos conductores cilíndricos.

C) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR ESFERICO.

Un condensador esférico consta de un cascarón conductor esférico de radio “b”, carga y un potencial eléctrico , concéntrico con una esfera conductora, mas pequeña, de radio “a”, carga +Q y potencial eléctrico (Fig.5.4).

Según se ha visto en el Tema 3 el campo externo debido a una distribución de carga esféricamente simétrica es radial y está dada por (3.28). En este caso, esto corresponde al campo entre las esferas (a<r<b). (El campo es cero en todos los demás puntos).

Por la ley de Gauss se observa que solo la esfera interior contribuye a este campo. Entonces la diferencia de potencial entre las esferas es según (3.10)

Luego sustituyendo en (5.2)

(5.5)

5.3.- ASOCIACION DE CONDENSADORES.

Con frecuencia en los circuitos se combinan de varias maneras dos o más condensadores. Puede calcularse la capacidad equivalente de ciertas combinaciones, aplicando el método que vamos a ver a continuación. El simbolo que se utiliza comunmente para representar a un condensador es

a) ASOCIACION EN PARALELO.

Dos condensadores conectados como en la (Fig.5.5), se conocen como combinación de condensadores en paralelo. Las placas izquierdas de los condensadores están conectados por un alambre conductor y se encuentran al mismo potencial. (Ya se ha expresado que todos los puntos de un conductor en equilibrio electrostático están al mismo potencial). Del mismo modo, las placas de la derecha son comunes y están a un potencial mas bajo. Dado que la diferencia de potencial debe ser la misma a través de cada condensador, los valores de las cargas están dados según (5.2) por

La carga total de ambos condensadores es

La capacidad equivalente , de los dos condensadores es la razón de la carga total almacenada a la diferencia de potencial

esto es, se pueden reemplazar por un condensador de capacidad el cual almacenará la misma carga Q, si la diferencia de potencial es .

Si se extiende a trés o mas condensadores conectados en paralelo, la capacidad equivalente es

(5.6)

Entonces se ve que la capacidad equivalente de una combinación en paralelo de condensadores es mayor que cualquiera de las capacidades individuales.

b) ASOCIACION EN SERIE.

Supongamos ahora dos condensadores conectados como se indica en la (Fig.5.6), a este tipo de conexión se le conoce como combinación de condensadores en serie.

En este tipo de conexión, los dos condensadores tienen la misma carga Q. Para comprender porque ocurre esto, consideremos los esquemas de la (Fig.5.7).

Supongase, en primer lugar, que solo están conectados a los puntos a y b la lámina superior del condensador 1 y la inferior del 2, como en la (Fig.5.7.a). Se crea entonces entre ellas un campo eléctrico dirigido hacia abajo. Si en este campo se introduce un conductor descargado de forma cualquiera, como en la (Fig.5.7.b), se induce una carga negativa sobre su superficie, y otra positiva igual sobre la inferior. Lo mismo ocurre si el conductor descargado tiene la forma de dos láminas planas con un hilo de conexión, como en la (Fig.5.7.c). Es decir, se inducen sobre las láminas cargas iguales y opuestas. Si las láminas introducidas tienen el mismo tamaño e igual forma que los de la (Fig.5.7.a), y si su separación es pequeña, todo el campo está practicamente confinado en la región comprendida entre las láminas, y el valor de las cargas es el mismo en todas ellas. Pero la disposición de la (Fig.5.7.c) es idéntica a la (Fig.5.6), es decir, dos condensadores conectados en serie entre los

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