Clculo

UNADM

[pic 1]

Calculo Diferencial

Unidad 1

Actividad 2

Actividad 2. Aplicación de los axiomas de números reales

Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales

1. Dado [pic 2], donde [pic 3] y [pic 4], demuestre que [pic 5]

Para demostrar que  xz - yz > 0. Vemos que xz - yz = (-z)((-x)+y)= (-z)(y-x).

Como x < y tenemos que y- x > 0 y también tenemos que -z > 0 osea z < 0.

El producto de dos números positivos es positivo luego (-z)(y - x) > 0 y asi demuestra que xz - yz > 0

.

1. Demuestre que para cualesquiera [pic 6] tales que [pic 7] y [pic 8] entonces [pic 9].

0(x-y) ϵ R+[pic 10]

                          z(y-x)+(z-w)x ϵ R+[pic 11]

0(z-w) ϵ R+[pic 12]

Obtendremos zy – wx ϵ R+ por la definición de < se tiene que xz < yw

1. Demuestre por inducción matemáticas que dados [pic 13] tales que [pic 14] demostrar que [pic 15] para cualesquiera [pic 16].

Según el principio de inducción matemática dice que se deben de cumplir con el axioma de tricotomía dice que xn=yn, xn>yn  y xnn y solo una de ellas es verdadera.

xn-yn ϵ R+

-( xn-yn) ϵ R+

( yn-xn)=0

Esto significa que:

 xn < yn se demuestra - 

 xn>yn

 xn=yn

1. Resolver la ecuación [pic 17].

     x+2x-5=1+x

     3x-5=1+x

     3x=1+5+x

     3x=6+x

     3x-x=6

     2x=6

     x=6/2

     x=3

comprobación sustrayendo  x

3+2(3)-5=1+3

3+6-5=4

9-5=4

4=4

1. Resolver la desigualdad [pic 18].

Replanteamos la desigualdad

x2 – x -12> 0

     factorizamos la ecuación cuadrática

(x+3)(x-4) > 0

1. Resolver la desigualdad [pic 19].

x+1[pic 20]

x-1

x+12(x-1)[pic 21]

x+12x-2[pic 22]

x-2x-2-1[pic 23]

-x-3[pic 24]

x 3[pic 25]

1. Demuestre que [pic 26] para cualesquiera [pic 27] y [pic 28].

La condición y =0 tiene un solo objetivo y es asegurar que los cocientes existan

1. Resolver la desigualdad [pic 29].

Lo primero que tendremos que realizar es una igualar la ecuación a cero para determinar la solución y dar los intervalos

X2+4x+10=0

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Como podemos observar aquí no se tienen raíces reales ya que  no es un número real, esto nos indica que para ningún numero real x sucede la igualdad x2+4x+10=0.[pic 33]

...