Cortaduras De Deddekind
Enviado por witnesses • 31 de Julio de 2011 • 645 Palabras (3 Páginas) • 279 Visitas
CORTADURAS DE DEDEKIND
En la evolución de esta teoría se distinguen tres etapas: la primera aparece influida por la
idea del número real como un objeto preexistente: cada número real produce una cortadura;
la cortadura define al número y éste determina a la primera (Dedekind). La segunda etapa
es la del pensamiento concreto: cada número real es una cortadura. La tercera etapa,
inaugurada por Hilbert, está dominada por el pensamiento axiomático: las cortaduras sirven
para probar que la noción de cuerpo ordenado completo es consistente con la aritmética de
los números racionales. Desde el punto de vista axiomático el único objeto de la teoría de
las cortaduras, que exponemos a continuación, es construir un ejemplo de cuerpo ordenado
completo. El ciclo se cierra al probar que cualquier cuerpo ordenado completo es isomorfo
al cuerpo de las cortaduras.
Suponemos conocidas las propiedades del cuerpo ordenado de los números racionales, al
que denotamos por Q. Entre las que nos harán falta destacamos la densidad: el hecho de
que entre dos números racionales distintos se encuentra siempre otro número racional, y la
arquimedianidad: el hecho de que para cualquier número racional positivo r existe un
entero positivo n tal que . /1 r n < En lo que sigue la palabra número es sinónimo de
número racional; no hay, por ahora, otros números. Los enunciados más sencillos van
señalados con números romanos, y en algunos casos nos ha parecido conveniente omitir la
fácil demostración.
Definición. Llamamos cortadura a un conjunto (o clase) α de números racionales que
satisfaga las siguientes propiedades:
1. ∅ ≠ α y ;Q ≠ α es decir, α es un subconjunto propio de Q;
2. si α∈ r y ,r s > entonces ; α∈ s es decir, todo número mayor que un
elemento de α pertenece también a α ;
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