Difracción de electrones

Ying Yi Yin

Difracción de electrones

Demostración de la naturaleza ondulatoria del electrón mediante el fenómeno de difracción en una lámina de grafito policristalino. Se estudiará de la estructura del cristal de grafito y se determinarán la longitud de onda del electrón y la constante de Planck.

1. Introducción y fundamentos teóricos: En esta práctica se demostrará el comportamiento ondulatorio del electrón en un proceso de difracción a través de un cristal de grafito. Usando la ley de la dispersión de Bragg se hallarán la distancia entre átomo de carbono en el cristal y la longitud de onda del electrón, comparándola con la longitud calculada mediante la fórmula de de Broglie.

1.1. Dualidad onda corpúsculo

        En la primera mitad del siglo XX, durante el desarrollo de la mecánica cuántica, tras demostrarse que las ondas electromagnéticas podían tener un comportamiento corpuscular (mediante el efecto fotoeléctrico, entre otros experimentos) Louis de Broglie propuso que la materia podría tener naturaleza ondulatoria, proponiendo la siguiente relación:[pic 1]

[pic 2]

Donde λ es la longitud de onda asociada a la partícula, p su momento lineal y h es la constante de Planck.

1.2. Difracción de Bragg

        Unos años antes, Lawrence Bragg explicó la interferencia entre rayos X dispersado por los átomos de un cristal con una distancia reticular interplanar d. Las ondas pueden interferir constructiva y destructivamente, generando patrones con máximos y mínimos de interferencia.

Tendremos interferencia constructiva y por tanto un máximo de intensidad en la imagen que obtengamos cuando las ondas estén en fase. Las ondas son funciones periódicas  , donde el número de onda , siendo λ la distancia entre dos máximos consecutivos de la función o longitud de onda.[pic 3][pic 4]

De esta forma cada vez que un rayo recorre una distancia λ la función se repite, y si la diferencia de caminos ΔL que han recorrido dos rayos es un múltiplo de la longitud de onda tendremos interferencia constructiva, dando lugar a un máximo de intensidad.

[pic 5]

Figura 1. Interferencia constructiva y destructiva en la difracción de Bragg de un onda de longitud de onda λ con un cristal con ditancia d entre su átomos

Mediante este modelo logró hallar una expresión que le permitiera hallar lo máximos de interferencia:

 [pic 7][pic 6]

Donde ΔL es la diferencia entre los caminos recorridos por los dos rayos, que en la ilustración para máximos constructivos equivale a , siendo d la distancia reticular del cristal sobre el que se difractan los rayos y θ el ángulo con el que estos inciden y se reflejan.[pic 8]

1.3. Difracción de electrones en un cristal de grafito

        Este es el experimento que se va a realizar, que combina los dos puntos anteriores de la teoría, pues se usa la naturaleza ondulatoria de los electrones, que son dispersados al interaccionar con un cristal de grafito.

        En este caso particular, los electrones están acelerados a un potencial UA, de este modo

[pic 9]

Donde E es la energía cinética clásica del electrón, e su carga, m su masa y p su momento lineal. Juntando (1) y (3) tenemos[pic 10][pic 11]

[pic 12]

        Como podemos ver en la figura 2, en el cristal de grafito tenemos dos distancias interplanares distintas, por lo que tendremos dos patrones de interferencia, uno asociado a cada distancia.

[pic 13][pic 14][pic 15]

Figura 2. Esquema de la estructura de una capa del cristal de grafito

En el patrón de interferencia veremos dos anillos concéntricos que se corresponden al primer máximo de interferencia asociado a cada una de estas distancias (figura 3).

[pic 16]

Figura 3. Ejemplo del patrón de difracción de los electrones

Ahora hay que deducir la relación entre el diámetro D de los anillos y la distancia entre átomos d.

[pic 17]

Figura 4. Esquema de la reflexión de Bragg del haz de electrones En rojo, la familia de planos que nos dan un máximo de interferencia tras reflejarse los electrones en ellos. L es la distancia entre la lámina de grafito y la pantalla (de 13cm en este experimento) y D el diámetro del anillo d

De la figura 4 podemos extraer que:[pic 18]

[pic 19]

Tomando aproximaciones para ángulos pequeños:[pic 20]

[pic 21]

Por tanto:[pic 22]

[pic 23]

Si sustituimos la ecuación (2) en (7), y tomando tan solo la difracción de orden n=1, llegamos a:[pic 24]

[pic 25]

Ahora insertamos la ecuación (4):[pic 26]

[pic 27]

Vemos que D depende linealmente de . Hallando el valor de la pendiente k, podemos encontrar el valor de d, pues el resto de parámetros son constantes que conocemos.[pic 29][pic 28]

[pic 30]

e = 1,6021 ⋅ 10-19 C

m = 9,1091⋅10-31 kg

h = 6,6256 ⋅ 10-34 J⋅s

L = 0,13 m

Es importante recordar que no estamos midiendo directamente el valor de D, pues al tener el papel milimetrado pegado a la ampolla tenemos una curvatura que hay que tener en cuenta (ver figura 5).

[pic 31][pic 32]

Figura 5. Esquema ilustrativo de la diferencia entre D, la distancia que quieres conocer, y D´ el arco de circunferencia que estamos midiendo.

Viendo la figura 5, con θ en radianes, tenemos:[pic 33]

[pic 34]

Y también:[pic 35]

[pic 36]

Juntando (11) y (12) nos queda:[pic 37]

[pic 38]

2. Procedimiento experimental:

El montaje de esta práctica consiste en:

- Tubo de difracción de electrones (figura 6), consistente en un tubo de vidrio (que contiene un filamento para calentar un cátodo y liberar electrones por efecto termoiónico, un ánodo         para introducir un potencial que acelere los electrones, y la lámina de grafito) unido a una ampolla de vidrio con una pantalla fluorescente al fondo.

[pic 39]

Figura 6. Tubo de difracción de electrones

- Fuente de alimentación de 0-600 V, para calentar el filamento y controlar el haz de electrones.

- Fuente de alimentación de 10 kV, para acelerar los electrones.

- Cables, para conectar todos los aparatos siguiendo el esquema de la figura 5.

- Papel milimetrado, pegado al tubo de difracción para medir el radio de los anillos del patrón de difracción o bien un calibre.

[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Figura 7. Esquema del montaje experimental donde se explica cómo deben conectarse los cables

Con todo esto, se procederá a medir los diámetros de los anillos los patrones de difracción (Fig. 3), variando el potencial de aceleración de 3,5 kV a 5kV. En la primera parte del experimento se representarán los valores obtenidos para D1 y D2 frente a  para calcular las distancias d1 y d2 a partir de las ecuaciones (9) y (10). En la segunda parte usaremos los valores de d1 y d2 proporcionados por el guion de la práctica (de 1.23 Å y 2.13 Å respetivamente) para verificar la relación de de Broglie, comparando el valor de λ obtenido de esta con el que nos da la fórmula de la difracción de Bragg. En una ampliación trataremos de hallar la constante de Planck, calculado λ a partir de la ecuación (8) y representándola también frente a , para hacer una regresión lineal y de la pendiente, extraer el valor de h despejándola de la ecuación (4)[pic 44][pic 45]

3. Resultados.

3.1. Distancias reticulares en el cristal de grafito

[pic 46][pic 47]

Figura 8. Representación de los valores obtenidos para D1 frente a [pic 48]

Ahora, introduciendo el valor de la pendiente en la ecuación (10), y teniendo en cuenta que hemos puesto D1 en mm, podemos hallar d1.

d1= 2,14 ± 0,22 Å

Donde hemos usado la ecuación (An. - 2) para el cálculo de errores.

El valor real es de 1.23 Å

[pic 49][pic 50]

Figura 9. Representación de los valores obtenidos para D2 frente a [pic 51]

De nuevo, por la ecuación (10) y usando la ecuación (An. - 2) para el cálculo de errores:

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