Física de ingenieria. PROBLEMA DE SÓLIDO RÍGIDO

PROBLEMA DE SÓLIDO RÍGIDO:

El siguiente problema es un análisis tipo de banda de transporte en cualquier industria, y se observa como un tablón o plataforma con masa M = 6 kg se encuentra sobre lo alto de dos rodillos cilíndricos sólidos idénticos que tienen de radio R = 5 cm y una masa de m = 2 kg como se muestra en la figura. Al tablón lo tira una fuerza horizontal constante F de 6 N de magnitud aplicada al extremo del tablón y perpendicular a los ejes de los cilindros (que son paralelos). Los cilindros ruedan sin deslizarse sobre una superficie plana. Tampoco hay deslizamiento entre los cilindros y el tablón.

1. Encuentre la aceleración del tablón y de los rodillos.
2. ¿Qué fuerzas de fricción actúan?

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Concepto del problema:

En este problema tenemos una combinación de dos tipos de movimiento: movimiento traslacional del centro de masa y movimiento rotacional de la rueda alrededor del centro de masa, pero no hay deslizamiento por parte de las ruedas con la superficie en la que se encuentra apoyado.  

También se deberá tener en cuenta que trabajamos con tres cuerpos, dos ruedas y un tablón, cada uno con sus respectivas masas y fuerzas.

Categoría del problema:

Para la realización de los cálculos de este ejercicio tendremos en cuenta el movimiento de rodamiento puro, en el que el cuerpo rueda durante el desplazamiento sobre una superficie y donde el punto en contacto con la superficie no se desplaza, rueda.

Para que un cuerpo tenga rodamiento se debe tener en cuenta la condición de rodadura: [pic 26]

También utilizaremos la segunda ley de Newton.

Análisis del problema:

Entendemos que las ruedas son simétricas, así que su centro de masa está en su centro geométrico y visualizamos el movimiento en un marco de referencia inercial, en el cual la superficie sobre la que se rueda está en reposo. Aquí, el punto de la rueda que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo para que no resbale. Por lo tanto, la velocidad del movimiento traslacional en ese punto será igual a la velocidad del centro de masa, pero con dirección opuesta.

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La velocidad angular ω en el punto de contacto con el suelo y la velocidad angular que pasa por el eje del centro de masa es la misma, visto así tenemos que la energía cinética de la rueda es , donde I es el momento de inercia de la rueda alrededor de un eje. I sabemos por el teorema de los ejes paralelos que .
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Según la segunda Ley de Newton tenemos que:

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Por un lado, tenemos las fuerzas de fricción que actúan sobre la rueda por lo que:

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 Y mediante el análogo rotacional de la segunda ley de Newton, describimos el movimiento rotacional alrededor del centro de masa.

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Sabemos que la aceleración es:

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Observamos que las fuerzas normales que ejercen el suelo y el tablón, y el peso de la rueda no forman ninguna torca porque son verticales a nuestro eje. Pero en cambio, las fricciones si generan torca. La fricción que ejerce el tablón será positiva mientras que la que ejerce el suelo será negativa.

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Ahora analizaremos las fuerzas que actúan sobre el tablón.

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La aceleración del tablón tiene que mover los dos rodillos por lo que se divide entre ambos, y obtenemos:

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