GRAVITACIÓN MOVIMIENTO ELÍPTICO. Demostración energía y segunda ley de Kepler.
Enviado por JoseCarvajalg • 20 de Mayo de 2016 • Prácticas o problemas • 769 Palabras (4 Páginas) • 321 Visitas
ACTIVIDAD ESPECIAL
GRAVITACIÓN MOVIMIENTO ELÍPTICO
Carvajal García José Carlos
- En el caso de movimiento elíptico relacione la energía total, E, con el semieje mayor de la elipse, a. Esto es, demuestre que E = -GmM/2a. Sugerencia: utilice los resultados del Apunte de Gravitación.
Del apunte de gravitación, sabemos que la energía está dada por:
[pic 1] | ( 1 ) |
Como vemos de la formula necesitamos el momento por lo que procedemos a encontrarlo:
Como no existen fuerzas externas entonces el momento angular debe conservarse. Igualamos los momentos en el punto más cercano (a) y el punto más lejano (b), al cuerpo que está orbitando situado en un foco.
[pic 2] | ( 2 ) |
Además de las la conservación de energía también podemos hacer la siguiente relación:
[pic 3] | ( 3 ) |
Como observamos no podemos conocer el momento en ninguno de los dos puntos si no conocemos su velocidad por lo que tenemos que encontrar a que es igual alguna de las velocidades, como tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas podemos encontrar a que son igual después de un poco de desarrollo como sigue a continuación:
De la ecuación dos y tres despejando VTb obtenemos:
[pic 4] | ( 4 ) |
[pic 5] | ( 5 ) |
Igualando ambas:
[pic 6] | ( 6 ) |
Despejado VTa tenemos:
[pic 7] | ( 7 ) |
Por lo que el momento en el punto más cercano al foco es igual a:
[pic 8] | ( 8 ) |
[pic 9]
Figura 1. Del apunte de gravitación sobre secciones cónicas.
De la figura sabemos que el foco (o la masa a analizar) está situado en ea tomando como referencia C. Además el planeta que se analiza está en a, y el punto D está situado en a/e. Por lo tanto .[pic 10]
Sustituimos la ecuación 8 y el valor de d anteriormente encontrado en la ecuación 1, para lo que obtenemos:
[pic 11] [pic 12] Después de simplificar todo llegamos a lo que se quería demostrar: | ( 9 ) |
[pic 13] | ( 10 ) |
- VERIFIQUE QUE LA TERCERA LEY DE KEPLER SE CUMPLE PARA ÓRBITAS ELÍPTICAS. PUEDE PROCEDER COMO SIGUE:
- Considere una partícula de masa m moviéndose en una trayectoria elíptica (semiejes mayor y menor dados por a y b, respectivamente), con una partícula de masa M en uno de los focos de la elipse. La partícula m se mueve de un punto P a uno P′ en un tiempo Δt, y barre un área ΔA; la posición de la partícula está dada por un vector r. Demuestre que el diferencial de área barrido por la partícula por unidad de tiempo es:
[pic 14]
Figura 2.- De la tercera ley de Kepler.
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