Grafos

Empleo de grafos

Podemos clasificar los grafos en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

PARTES DE UN GRAFO

En un grafo no dirigido el par de vértices que representa un arco no está ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arco está representado por un par ordenado de vértices, de forma que y representan dos arcos diferentes.

Ejemplos

G1 = (V1, A1)

V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

G2 = (V2, A2)

V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}

G3 = (V3, A3)

V3 = {1, 2, 3} A3 = { <1, 2>, <2, 1>, <2, 3> }

Gráficamente estas tres estructuras de vértices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:

TIPOS DE GRAFOS

Grafo regular:

Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular

Grafo bipartito:

Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es

Grafo completo:

Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6

Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

Grafo nulo:

Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

CAMINOS Y CIRCUITOS

Caminos

Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

x e y se llaman los extremos del camino

El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.

Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.

Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple entre ellos.

Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.

Llamaremos ciclo a un circuito simple

Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Camino.

Es un conjunto de vértices y aristas que llevan a un punto del grafo.

INSOMORFISMO

Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

Uso de arboles

Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértices.

Sea G =(V,A) un grafo no dirigido. G se denomina ARBOL, si es conexo y no contiene ciclos.

Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz.

PROPIEDADES DE LOS ÁRBOLES

Un árbol es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértices.

Sea G =(V,A) un grafo no dirigido. G se denomina ARBOL, si es conexo y no contiene ciclos.

Un árbol con raíz, es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz.

TIPOS

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