INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMATICO TALLER Nº 9 RAZONES DE CAMBIO Y TRAZADO DE CURVAS

FUNDACION UNIVERSIDAD DE AMERICA

INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMATICO

TALLER Nº 9

RAZONES DE CAMBIO Y TRAZADO DE CURVAS 

OBJETIVOS

Al término del presente taller, el estudiante estará en capacidad de:

1. Resolver problemas en donde la tasa de variación que se busca puede depender de las tasas de variación de diferentes cantidades relacionadas.

2. Graficar una función empleando la información que brindan los criterios de la primera y segunda derivada a cerca de ella.

RAZONES DE CAMBIO

Si la variable y depende del tiempo t, entonces la derivada dy/dt se llama la razón de cambio con respecto al tiempo. Por supuesto, si y mide la distancia, esta razón de cambio con respecto al tiempo se llama también velocidad (o rapidez).

Corresponden a razones de cambio:  La razón conque el agua fluye en un depósito, la razón con la que crece una fuga de petróleo, el índice de aumento del valor de una propiedad, etc.

Si y se da en términos explícitos de t, el problema es simple. Basta con derivar y calcular después el valor de la derivada en el tiempo t requerido. También puedesuceder que en lugar de conocer y en términos de t se conozca una relación que conecte y con otra variable x, y que se tenga un dato respecto a dx/dt. Así se puede encontrar dy/dt, ya que, dy/dt y dx/dt son razones afines o razones relacionadas, lo cual requiere por lo general, una derivación implícita.

PROCEDIMIENTO: Se sugiere el siguiente proceso para resolver problemas de razones de cambio:

1. Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar.

2. Escribir una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse.

3. Derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación respecto del tiempo, usando la regla de la cadena.

4. Sustituír en la ecuación resultante todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio. Deducir entonces la razón de cambio requerida.

TRAZADO DE CURVAS

Para trazar la gráfica de una función  se debe tener en cuenta:

1.  DOMINIO

Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.

2.  CORTES CON LOS EJES

Son los puntos donde la curva corta al eje x y al eje y. Para hallarlos se toma x = 0 y se despeja y; y = 0 y se despeja x.

3.  PUNTOS CRÍTICOS

Son los puntos donde la curva alcanza su máximo o mínimo valor en y. Para hallarlos se iguala la primera derivada a 0 y se despeja x. Se detemina el valor de y correspondente al valor de x obtenido, reemplazando x en y = f(x).

4.  INTERVALOS DE CRECIMIENTO

Son los intervalos abiertos en x, donde la función sube o baja. De acuerso con el cirterio de la primera derivada, la función y = f(x) es creciente en los intervalos donde la primera derivada es positiva, y decreciente donde ésta sea negativa.

5.  PUNTOS DE INFLEXION

Son los puntos donde la gráfica cambia de sentido. Para hallarlos, se iguala la segunda derivada a 0 y se despeja x.

6.  INTERVALOS DE CONCAVIDAD

Son los intervalos abiertos en x, donde la función abre hacia arriba o hacia abajo. De acuerso con el criterio de la segunda derivada, la función y = f(x) es cóncava hacia arriba en los intervalos donde la segunda derivada es positiva, y cóncava hacia abajo, donde ésta sea negativa.

7.  ASÍNTOTAS

Son líneas rectas hacia las cuales se acerca la gráfica de la función.

8.  GRÁFICA

Con toda la información anterior se hace una bosquejo de la gráfica

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas. El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/s. Cuando su radio es de 120 cm, ¿a qué ritmo está creciendo el área total A de la zona perturbada?

Solución: Las variables r, A están relacionadas por la ecuación del área del círculo: . Para resolver el problema, hay que recordar que la razón de cambio del radio r viene dada por dr/dt. Luego el problema se reduce al siguiente modelo:

Ecuación dada:                    

Ritmo dado                           dr/dt = 30              cuando r = 120

Calcular                                dA/dt                     cuando r = 120

Con esta información, se procede:

Derivando respecto a t        [pic 1]

Si r = 120:                           [pic 2]

EJEMPLO 2: Se bombea aire en un globo esférico a razón de . Hallar la razón de cambio del radio, cuando éste es de 2 cm.

Solución: Primero se toman los datos:

Dado               dV/dt = 9/2              (ritmo constante)

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