Análisis Matemático: Teorema de Límites

Análisis Matemático: Teorema de Límites

Yonny David Paredes Díaz - DavidsParedes@hotmail.com

1. Presentación

2. Teoremas de Límites

3. Teorema de Estricción y Límites de Funciones Trigonométricas

4. Límites Unilaterales

5. Ejercicios propuestos desarrollados por los estudiantes

6. Resolucion de ejercicios de límites al infinito

7. Resolución de ejercicios de límites laterales

Presentación

El objetivo de este Libro es contribuir al conocimiento y entendimiento de los Estudiantes de la Universidad Andina Nestor Caceres o otras Instituciones del Nivel Superior, con la intención de aportar al Desarrollo de Capacidades de cada uno de los Estudiantes de las Diferentes Instituciones Superiores; especialmente de la Universidad Andina Nestor Caceres Velasquez y orientadas a abordar la problemática que existe en muchas Instituciones. La información que aquí se presenta debe también ser utilizada por las instituciones y la ciudadanía en general para monitorear los logros que las distintas intervenciones tengan en cuanto al control de la situación en que se encuentre los Estudiantes.

Teoremas de Límites

Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Épsilon-Delta se establecen los siguientes teoremas.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Teorema de límite1:

Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

Teorema de límite4:

Teorema de límite5:

Teorema de límite6:

Si f es un polinomio y a es un número real, entonces

Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

Teorema de límite8:

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

5. Solución:

6. Solución:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:

7. Solución:

No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):

8. Solución:

Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0; por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:

9. Solución:

No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:

10. Solución:

Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:

11. Solución:

El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:

12. Solución:

Teorema de Estricción y Límites de Funciones Trigonométricas

El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites.

Teorema de estricción (TL9):

Demostración:

Teorema de límite10:

Teorema de límite11:

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

Límites Unilaterales

Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.

Ejemplo:

Límite unilateral por la derecha:

Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

Límite unilateral por la izquierda:

Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

Límite bilateral:

Teorema de límite12:

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

Límites Infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

Crecimiento infinito:

Decrecimiento infinito:

Teorema de límite13:

Teorema de límite14:

Teorema de límite15:

Teorema de límite16:

Teorema de límite 17:

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente. Trazar las asíntotas, tanto verticales como horizontales (más adelante nos ocuparemos de estas últimas), es de gran ayuda para dibujar la gráfica de una función.

Asíntota vertical:

Una asíntota vertical es una recta paralela al eje y.

Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

5. Solución:

6. Solución:

Límites en el Infinito

Teorema de límite18:

Asíntota horizontal:

Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.

Teorema de límite19:

S o l u c i o n e s

Ejercicios propuestos desarrollados por los estudiantes

DE CAP: CONTABILIDAD III C – 2009

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