Investigacíon Diagramas de Boode

INVESTIGACION DIAGRAMAS DE BOODE

Nombre: Kenny García

¿Qué es un diagrama de Bode?

El diagrama de Bode es una gráfica semilogarítmica en la magnitud de decibeles y la fase en grados de una función de transferencia de la frecuencia en un circuito eléctrico. Este representa el comportamiento eléctrico durante la excitación de la frecuencia ante un circuito eléctrico.

Los diagramas de bode se construyen a partir de las funciones de transferencia de la frecuencia que varia con el tiempo. Para obtener la función de transferencia de cualquier sistema se debe de dividir la salida entre la entrada.

𝐻(𝑠)

= 𝑉𝑅(𝑠)

𝑉𝑠(𝑠)

Si esta ecuación la pasamos al dominio de la frecuencia de un circuito RLC obtenemos que:

[pic 1]

La intensidad del circuito sería:

         𝑉𝑆(𝑠)                         𝑠𝐶𝑉𝑠(𝑠)        

𝐼        =        =

(𝑠)

𝑅 + 𝑠𝐿 + 1

𝑠𝐶

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Obteniendo la corriente podemos obtener el voltaje sobre la resistencia:

𝑉 (𝑠) =        𝑠𝑅𝐶𝑉𝑆(𝑠)        

𝑅        𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Calculado la intensidad y el voltaje podemos obtener la función de transferencia:

𝐻        = 𝑉𝑅(𝑠) =        𝑠𝑅𝐶

[pic 2]

(𝑆)

𝑉𝑆(𝑠)

𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1

Debido a que el eje horizontal en los diagramas de Bode trabaja en una frecuencia angular debemos cambiar la frecuencia en función de w y no en función de s. Como en el sistema excitado la frecuencia puede ser de tipo senoidal o cosenoidal por lo tanto debemos remplazar por jw. Donde j es el operador imaginario y w es la frecuencia angular del sistema. Por lo tanto, obtenemos que:

𝑗𝑤𝑅𝐶

𝐻(𝑤) = 𝐿𝐶(𝑗𝑤)2 + 𝑅𝐶𝑗𝑤 + 1[pic 3]

Construcción de un diagrama de Bode a partir de polos y ceros de la función de transferencia

Primero para analizar de las funciones es necesario factorizar la ecuación de transferencia, de tal forma que sea posible que se aprecien los polos y ceros, cave recalcar que el procedimiento debe realizarse en función de s.

𝐻(𝑆) =[pic 4]

(𝐾)(𝑠)±𝑛(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)2 + ⋯ (𝑠)±𝑛(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)2 + ⋯

De esta expresión obtenemos 7 tipos de pendientes que estan dentro del diagrama de Bode:

1. Valores Constantes K: son tramos constantes en el diagrama, en el diagrama de fase el ángulo es cero.
2. Cero en el origen (𝒔)±𝒏: producen una pendiente positiva siendo esta a 20n decibelios por década, en el diagrama de fase producen rectas a 90n°.
3. Cero simples (𝒔 + 𝒂) : son líneas de pendiente positiva a 20n decibelios por década. La pendiente siempre va a ser positiva cuando w = a. en la fase la variación puede ser entre 0° y 90° de forma lineal. Cuando w=0.1a el desface es de 0° y cuando w=10a el desfase es de 90°.
4. Cero cuadrático(𝒔 + 𝒃)𝟐 : es igual a lo de ceros simples, lo único que cambia es que tienen pendientes positivas a 40n decibeles y en su grafica de fase producen ángulos de 0° a 180° cuando w=0.1b y cuando w=10b.
5. Polo en el origen: producen una pendiente negativa siendo está a -20n decibelios por década, en el diagrama de fase producen rectas a -n90°.
6. Polo simple(𝒔 + 𝒄): son líneas de pendiente negativa a -20n decibelios por década. La pendiente siempre va a ser negativa cuando w = c. en la fase la variación puede ser entre 0° y -90° de forma lineal. Cuando w=0.1a el desface es de 0° y cuando w=10c el desfase es de -90°.
7. Polo cuadrático: es igual a lo de polo simple, lo único que cambia es que tienen pendientes negativas a

-40n decibeles y en su grafica de fase producen ángulos de 0° a -180° cuando w=0.1d y cuando w=10d.

En la grafica se puede ver el comportamiento de lo descrito antes.

[pic 5]

Ejercicio del diagrama de bode de un circuito RL:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

...