LA CONSTANTE DE APÉRY Y LOS INVERSOS DE POTENCIAS IMPARES
Enviado por Juan camilo Chaves M. • 15 de Febrero de 2021 • Reseñas • 436 Palabras (2 Páginas) • 168 Visitas
LA CONSTANTE DE APÉRY Y LOS INVERSOS DE POTENCIAS IMPARES
Hay algunos hechos en matemáticas que no son fáciles de explicar, incluso hay interrogantes que el ser humano todavía no tiene la capacidad para explicarlos, y menos cuando escapan de la intención de encontrar su respuesta en patrones.
Antes de definir la Constante de Apéry, haré mención a Pietro Mengoli, matemático italiano quien probó en 1735 que la suma de la serie armónica diverge, es decir:
[pic 1]
Mengoli también fue el primero en plantear el famoso Problema de Basilea, que enuncia: “¿Cuánto vale la suma de los inversos multiplicativos de los cuadrados de todos los números naturales?”. Lo anterior se representa así:
[pic 2]
Y fue Leonhard Euler quién demostró que: [pic 3][pic 4]
Más tarde, usando los métodos de Euler, se encontró que si sumamos los inversos multiplicativos de las potencias cuartas, se tiene:
[pic 5]
Y del mismo modo con los inversos de las potencias sextas:
[pic 6]
Así con todas las potencias pares, se encuentra un patrón en la sumatoria,
Donde n es la potencia par y C es un número entero.[pic 7]
Lo anterior es válido únicamente con las potencias pares, pero los métodos de Euler no se pueden aplicar a las potencias impares, sin embargo se esperaría que con otros métodos se encuentre un patrón parecido al anterior, pero no es así. En 1977, Roger Apéry demostró que la sumatoria con n=3 (el primer impar) es irracional, ¿cuál?, no se sabe, pero es un número irracional. Es a este número que se le conoce como Constante de Apéry y hasta el momento se conoce más de un billón de dígitos.
ζ(3) Donde ζ es la función Zeta de Riemman.[pic 8]
La dificultad del problema reside primero, en que no es fácil saber si un número es irracional y segundo, que la sumatoria de los inversos de potencias impares es un problema abierto hasta el momento y es considerado uno de los problemas más difíciles en teoría de números.
En el año 2000, Wadim Zudilin probó que existe un número infinito de potencias impares para las cuales el resultado de tal sumatoria es un número irracional, el problema ahora es si son todas las potencias impares. Para el 2001 se demostró que con las potencias 5, 7 ,9 y 11, con al menos una de ellas, el resultado es irracional.
La constante de Apéry se sigue estudiando, al igual que la sumatoria para potencias impares. Es tan importante este problema que se relaciona con la función Zeta de Riemman, aparece en el área de electrodinámica cuántica, en redes, grafos, análisis de árboles aleatorios y probabilidad.
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