Lanzamiento proyectil

Modelación del lanzamiento de un proyectil donde el roce es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

[pic 1]

• El peso mg.
• La fuerza de rozamiento Fr, que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). [pic 2]

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por lo tanto:

[pic 3]

[pic 4]

La solución de estas ecuaciones con las condiciones iniciales  es:[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales  tenemos:[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Para un proyectil disparado con velocidad  y ángulo de tiro  . Las velocidades iniciales son:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Cuando la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son como hemos visto ya:

• El peso mg.
• La fuerza de rozamiento Fr, que es de sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). [pic 14]

Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto:

[pic 15]

[pic 16]

Este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas se resuelven aplicando procedimientos numéricos, por ejemplo, el método de Runge-Kutta. Para resolver el sistema anterior obtendremos sus ecuaciones de estado correspondientes. Utilizando el hecho de que:

[pic 17]

Obtenemos:

[pic 18]

[pic 19]

Las condiciones iniciales son las mismas que en la sección anterior:

[pic 20]

Renombramos las variables de la siguiente manera:

[pic 21]

[pic 22]

Reemplazamos y obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

[pic 23]

Utilizamos el archivo de simulink denominado proyectil.slx para su solución. Las gráficas de la posición   y  con respecto al tiempo son:[pic 24][pic 25]

[pic 26][pic 27]

Las gráficas de la velocidad en  y  con respecto al tiempo.[pic 28][pic 29]

[pic 30][pic 31]

La grafica de  con respecto a .[pic 32][pic 33]

[pic 34]

Para la resolución del problema de manera interactiva se desarrolló un código en Matlab denominado proyectil.m para el análisis incluido en al apéndice del trabajo. Los resultados obtenidos fueron:

[pic 35]

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