Limite Y Continuidad
Enviado por faridesli • 27 de Mayo de 2013 • 490 Palabras (2 Páginas) • 476 Visitas
Cap´ıtulo 4
L´IMITE DE UNA FUNCI ´ON
4.1. L´ımites
L´ımite de una funci´on: Sea f una funci´on definida en un intervalo abierto que
contenga a a (excepto posiblemente en a) y sea L un n´umero real. La afirmaci´on
l´ım
x→a
f(x) = L
significa que para todo > 0 existe un n´umero δ > 0 tal que:
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < .
Tambi´en se emplea la notaci´on convencional
l´ım
x→a
f(x) = ∞,
la cual indica que |f(x) − L| > para |x − a| < δ, donde es un n´umero positivo
arbitrario.
L´ımites unilaterales: El l´ımite por la derecha de una funci´on f es L, significa que f
se acerca al valor L cuando x se aproxima a a desde valores mayores que a. Este l´ımite
se denota como:
l´ım
x→a+
f(x) = L.
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L´ımite de una Funci´on 118
De manera semejante, el l´ımite por la izquierda de f es L, significa que x se aproxima
a a desde valores menores que a. Este l´ımite se denota como:
l´ım
x→a−
f(x) = L.
Cuando el l´ımite por la izquierda no es igual al de la derecha, el l´ımite (bilateral) no
existe. Por lo tanto, si se tiene una funci´on f y a los n´umeros reales a y L, entonces se
dice que el l´ımite de f(x), cuando x tiende a a, existe y es L si, y s´olo si,
l´ım
x→a−
f(x) = L y l´ım
x→a+
f(x) = L.
Al buscar el l´ımite de la raz´on de dos polinomios enteros respecto a x cuando x→∞, es
conveniente dividir previamente los dos t´erminos de la raz´on por xn. En muchos casos
puede emplearse un procedimiento an´alogo, cuando se trata de expresiones irracionales,
en virtud de eso es bueno tomar en cuenta cu´al es la potencia mayor. Se aplica n/∞ lo
cual tiene a cero. Por ejemplo, en la siguinte tabla se muestran unos casos en los que
se distingue la m´as alta potencia de una funci´on: A continuaci´on se presenta una serie
Funci´on M´as alta potencia
x2 + 2x + 3 x2
3 √
x2 + 2x + 3 x
2
3
(x2 + 3)3 x6
(x + 1) (x2 + 4) x3
(x + 1) + (x2 + 4) x2
de ejemplos donde se utiliza el procedimiento recomendado previamente.
4.1.1. Ejemplos
Ejemplo 4.1.1. Hallar
l´ım
x→∞
(x + 1)2
x2 + 4
.
119 L´ımite de una Funci´on
Soluci´on:
l´ım
x→∞
(x + 1)2
x2 + 4
= l´ım
x→∞
x
x + 1
x
2
x2
x2 + 4
x2
= l´ım
x→∞
1 + 1
x
2
1 + 4
x2
=
12
1
= 1.
Ejemplo 4.1.2. Hallar
l´ım
x→∞
1000x
x2 + 4
.
Soluci´on:
l´ım
x→∞
1000x
...