Limites Y Continuidadad

Limites Y Continuidad

En matemáticas, cuando el número de lados inscritos y circunscritos de un polígono aumenta, su área se aproxima a un valor fijo llamado límite y este límite es el área del círculo. Por tanto, podemos decir que si n representa el número de lados de un polígono y el área de polígonos inscritos y circunscritos son A1 y A2 respectivamente, entonces

La Teoría de los Límites marca el primer punto de cálculo. Unas u otras formas de límites se utilizan para transmitir todos y cada uno de los conceptos en el cálculo.

La definición general de límites puede entenderse mejor con la ayuda de un ejemplo.

Considere una función f(x) = x2 + x. Para encontrar el límite de una función cuando x tiende a 1, revisaremos el comportamiento de la función para los valores de x cercanos a 1. A medida que x se aproxima a 1 por la derecha, el valor correspondiente de la función se aproxima a 2. Esto se conoce como límite derecho de la función, cuando x se aproxima a 1 por la derecha.

Del mismo modo, cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, el valor de la función una vez más se aproxima a 2. Esto se conoce como límite del lado izquierdo de la función, ya que x se aproxima a 1 por la izquierda.

x 0.9 0.99 0.999 1.01 1.1 1.2 F(x) 1.71 1.9701 1.997001 2.0301 2.31 2.64

Observe que cuando x se encuentra dentro de 0.01 unidades de 1, es decir, entre 0.99 y 1.01, entonces f(x) está dentro de 0.04 unidades de 2, mientras que cuando x se encuentra a 0.1 unidades de 1, es decir, entre 0.9 y 1.1, entonces en ese caso, f( x) se encuentra a 0.4 unidades de 2. Por tanto, podemos hacer que el valor de la función esté cerca de 2 mediante hacer x lo suficientemente cerca de 1. Por tanto, el límite de la función f(x) se puede describir como

En ciertas ocasiones, el límite de una función también puede ser infinito. Por ejemplo: la función . El comportamiento de la función cuando x tiende a 0 es indefinido, es decir, a medida que el valor de x aumenta, el valor de la función también aumenta. En x = 0, el valor de f(x) se vuelve infinito. Así que la función se dice que tiene límite infinito.

La continuidad es una propiedad que está estrechamente relacionada con los límites. Se trata de una propiedad característica de la mayoría de las funciones que sirven para trazar el gráfico de una función sin saltar o brincar. Sin embargo, la existencia de límites finitos no necesita la existencia de la continuidad. Por ejemplo: Teniendo en cuenta los gráficos de las funciones-

f(x) = | x | f(x) = [ x ]

Se puede observar que el grafico de f(x) = | x | es una sola pieza. Pero el grafico de f(x) = [ x ] no está en una sola pieza. Por tanto, el grafico f(x) = | x | se dice que es continuo.

Definiéndola geométricamente con la ayuda de un ejemplo, podemos decir, que normalmente la gráfica de la función f: [a, b] R se puede dibujar sin mover la mano de un punto A a otro B. Entonces podemos considerar la gráfica como continua en los puntos (A, B).

3.1 Límites de una Sucesión

El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L para grandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión es divergente.

Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que , n N, es l y se escribe an=l. Esto se lee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.

Ademas, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.

Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.

Algunas de las propiedades generales de los Límites de una Sucesión incluyen:

1).Los Límites de las sucesiones de origen convergentes son únicos.

2). Una sucesión de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.

3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan + ybn }n 1 es también convergente.

4). Similarmente, si las sucesiones {an} n 1 junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números reales, en ese caso, la sucesión { xan . ybn }n 1 es también convergente. Obtenemos,

{ an . bn }= an . bn

5). En el caso de la sucesión {an}, n 1 tiene un origen convergente con la condición que an 0 y an 0 para n 1, entonces la secuencia del tipo es también convergente.

Los límites de las sucesiones estándares pueden ser útiles para facilitar el cálculo. Algunos de estos son:

1). = 0

2). = 0 | r | < 1.

3). = 0 donde sn = a + ar + ar2 + …..+ Este límite es conocido como serie infinita geométrica con el primer término “a” y la razón común “r”.

Para captar efectivamente el concepto de las propiedades y las características de los límites de sucesiones, observemos un ejemplo en el que se requiere demostrar que para un número x, donde 0 <x <1

xn = 0

Dado que 0 < x < 1, por tanto la sucesión xn es cerrada y decreciente. De acuerdo a la segunda propiedad citada arriba, esta es convergente. Entonces,

xn = L

Por lo tanto, tenemos que demostrar L = 0

Como, xn+1 es parte de la sucesión xn , entonces, xn+1 = L

Ahora, dado que xn+1 = x xn

De las propiedades citadas,

xn+1 = x. xn

L = x. L

Ahora bien, como x 0, entonces, L =0.

3.2 Límite de una función de variable real

El límite de una función de variable real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de una variable real r, en

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