Limite De Sucesiones
Enviado por diurzuar23 • 18 de Agosto de 2011 • 2.289 Palabras (10 Páginas) • 831 Visitas
LIMITES
1 L¶³mites de Sucesiones
De¯nici¶on 1.1 Sea fang+1
n=0 una sucesi¶on de n¶umeros reales. Se dice que lim
n!+1
an = l, o que la sucesi¶on CONVERGE
a l, si y s¶olo s¶³
8 ² > 0 existe R > 0 tal que n > R ) jan ¡ lj < ²:
Esto signi¯ca que cuando n se hace m¶as y m¶as grande los n¶umeros an se estan acumulando cerca de l.
Ejemplo:
Si p > 0, entonces
lim
n!+1
1
np = 0:
Demostraci¶on:
Si alguien nos da un ² > 0 nosotros elegimos R = 1
²
1p
y tendremos n > R ) j 1
np ¡ 0j = j 1
np j < 1
Rp = ². 2
Ejercicio:
En el caso de la sucesi¶on constante an = C para todo 2 N se tiene
lim
n!+1
C = C:
Demostraci¶on:
No puede ser mas f¶acil pues dado ², cualquier R sirve. 2
Ejemplo:
Considere la sucesi¶on f(¡1)ng+1
n=0. Probaremos que ella no tiene l¶³mite. Argumentamos por contradicci¶on. Si esta
sucesi¶on tuviera un l¶³mite l, entonces si l 6= 1 tomando ² = jl¡1j
2 deber¶³a existir N tal que n > N ) j(¡1)n ¡ lj < jl¡1j
2 .
Tomando n como cualquier n¶umero PAR mayor que N obtenemos j1¡lj < jl¡1j
2 . Esta contradicci¶on demuestra que no se
puede tener que l 6= 1. La ¶unica posibilidad que nos queda es que l = 1, pero en este caso tomando ² = 1 deber¶³a existir
K tal que n > K ) j(¡1)n ¡ lj < 1. Tomando ahora cualquier natural IMPAR mayor que K se tendr¶³a j ¡ 2j < 1. Lo
que tambi¶en es una contradicci¶on y por lo tanto la sucesi¶on no puede tener l¶³mite.
Observaci¶on:
Hacemos notar que las tres a¯rmaciones siguientes son equivalentes.
1) lim
n!+1
an = l:
2) lim
n!+1
(an ¡ l) = 0:
3) lim
n!+1
jan ¡ lj = 0:
En efecto:
lim
n!+1
an = l signi¯ca
8² > 0 existe R tal que n > R ) jan ¡ lj < ²:
1
lim
n!+1
(an ¡ l) = 0 signi¯ca
8² > 0 existe R tal que n > R ) j(an ¡ l) ¡ 0j < ²:
lim
n!+1
jan ¡ lj = 0 signi¯ca
8² > 0 existe R tal que n > R ) jjan ¡ lj ¡ 0j < ²:
Como estas tres a¯rmaciones son exactamente la misma la observaci¶on queda demostrada.
Pasamos ahora a demostrar algunos teoremas b¶asicos sobre l¶³mites. Empezamos por el teorema de la suma.
Teorema 1.1
Si fang+1
n=0 y fbng+1
n=0 son dos sucesiones tales que lim
n!+1
an = l y lim
n!+1
bn = m, entonces la sucesi¶on suma,
f(an + bn)g+1
n=0 converge y lim
n!+1
(an + bn) = l + m.
Demostraci¶on:
Sea ² dado.
Como lim
n!+1
an = l se tiene que existe R1 tal que
n > R1 ) jan ¡ lj <
²
2:
Como lim
n!+1
bn = m se tiene que existe R2 tal que
n > R2 ) jbn ¡ mj <
²
2:
Observamos que
j(an + bn) ¡ (l + m)j · jan ¡ lj + jbn ¡ mj:
Ahora tomando R = max(R1;R2) se tiene que
n > R ) j(an + bn) ¡ (l + m)j < ²
lo que termina la demostraci¶on. 2
Ejercicio:
1. Si lim
n!+1
an existe y lim
n!+1
bn NO existe. Qu¶e puede decir de lim
n!+1
(an + bn)?
2. Si lim
n!+1
an NO existe y lim
n!+1
bn NO existe. Qu¶e puede decir de
...