Logica Proposional

Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:

p p'

1 0

0 1

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p  q, y se lee "p y q".

Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "p o q".

p q p  q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p  q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.

p q p  q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p  q, y se lee "si p entonces q".

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "si y sólo si p entonces q".

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.

Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p  q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones

p  q y q'  p'

son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.

Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.

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