Movimeinto Browniano

El Movimiento Browniano

Eliseo Martínez H.

1. Introducción

Robert Brown, con toda seguridad, no fue el primero en descubrir el movimiento que lleva su nombre. A consecuencia de sus viajes se fue interesando en la investigación de los coloides, y en la cuidadosa observación de preparaciones microscópicas en el estudio de los mecanismos de reproducción en las plantas. Sin embargo, el comportamiento errático del polen suspendido en una solución lo asoció a las teorías vitalistas de la vida, haciendo defensa de que este movimiento era propio de la materia viviente, y relacionado con los mecanismos de la reproducción. Sin embargo, en sus trabajos finales concluye que el movimiento errático observado era de naturaleza mecánica y no dependía del carácter orgánico ni inorgánico de los objetos microscópicos observados. Esto ocurría en el año 1828.

Parecía claro la no existencia de un modelo matemático para este movimiento: la Matemática y la Física del siglo XIX no estaban lo suficientemente desarrolladas para atacar el fenómeno. Fue necesario esperar los trabajos de Einstein, en 1905, para su modelación. Y la barrera fundamental que impedía el conocimiento del movimiento Browniano era justamente el determinismo clásico de la Mecánica de Newton. Esta aseguraba que todo movimiento debía tener por causa una fuerza. Einstein usando la teoría molecular cinética de la materia prueba que dicho movimiento se produce sin que medie la acción de fuerza externa alguna. Su razonamiento es de una sencillez extrema: si los granos de polen en suspensión se mueven es porque las moléculas del líquido chocan con ellos. las moléculas a su vez están en movimiento constante por efecto de fuerzas externas al líquido (interacciones moleculares o, incluso, por cambios producidos en los niveles de energía en la estructura subatómica). De este modo Einstein llegó a la conclusión de que el movimiento Browniano es intrínseco a la materia.

2. Propuesta de un modelo de trayectoria estocástica.

Supongamos que denota la trayectoria de una partícula que está sometida a choques con moléculas (por ejemplo, dentro de un fluido); el desplazamiento de esta partícula, en un intervalo de tiempo de longitud se mide mediante , luego este desplazamiento, aparte de deberse a la velocidad de la partícula en ese momento, se agregará otro que puede ser proporcional a un desplazamiento, debido a interacciones azarosas, denotado por . Supongamos que y que la velocidad en el tiempo y en la posición , es , se tendrá entonces que

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siendo el factor de proporción que eventualmente puede depender del tiempo y la posición . Digamos que el desplazamiento se explica por una parte determinística, el primer término de la suma en el lado derecho de (1), y por una parte aleatoria, indicada por el segundo término del lado derecho de (1). De manera más general,

(2)

Observemos que si obedece las leyes de alguna probabilidad, se tendrá que, en definitiva, , y por ende , será una variable aleatoria.

Ahora bien, si es una variable aleatoria, entonces una posible trayectoria, conforme a la ley de probabilidad que la rige, se denotará por , donde es el resultado obtenido del espacio de probabilidad en que se sustenta la variable . Salvo cuando sea absolutamente necesario la trayectoria de la denotaremos simplemente por .

3. El movimiento Browniano unidimensional y su modelación.

Supongamos que es una colección de variables aleatorias, diremos que este proceso es un movimiento Browniano si tiene las siguientes propiedades:

(i) para es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 0 y varianza .

(ii) para , es un conjunto de variables aleatorias independientes.

Recordemos que una variable aleatoria se distribuye con media y varianza (que denotaremos por ) si la ley de probabilidad es

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de manera que la propiedad (i) nos dice que para

(4)

y la propiedad (ii) nos dice que para se tiene que

La aparente complejidad de estas propiedades matemáticas son realmente sencillas de interpretar (o modelar).

Sea , intentaremos crear una posible trayectoria para cada valor de , esto es . Supongamos que por hipótesis , ¿cómo se obtiene ?, para esto acudimos a la variable aleatoria , donde sabemos que un posible valor para este incremento sigue una distribución normal , luego generamos un valor aleatorio según esta distribución y así obtenemos un valor para . Para generar el valor de , acudimos al incremento (observemos que ya sabemos el valor de , digamos ) que es obtenido mediante la generación de un número aleatorio según una distribución , sea este número , esto es , de modo que , y así continuamos con el proceso. De modo que para generar una posible trayectoria de este movimiento Browniano, se generan en forma independientes (garantizado por la propiedad (ii)) los incrementos , y se calcula la trayectoria mediante

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