Newton Cotes

Introducción

Las formulas de newton-cotes, (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de formulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales la función es evaluada es puntos equidistantes, y así hallar el valor aproximado de la integral, cuantos más intervalos sea dividida la función, más preciso será el resultado.

Las formulas de Newton-cotes se pueden clasificar en abiertas y cerradas. Las formulas del trapecio y de Simpson son casos particulares de las formulas cerradas. En ellas se aproxima la integral en el intervalo [X0,Xm] usando el polinomio de interpolación, de grado menor o igual a m, construido a partir de los puntos (X0, Y0), (X1,Y1),…..,(Xm-1,Ym-1),(Xm,Ym), igualmente espaciados en x.

∫_X0^Xm▒f(x)dx~∫_X0^Xm▒Pm(x)dx

La siguiente tabla muestra las más importantes.

M Error

1 h/2(Yo+Y1) -(f"(z))/12 h^3

2 f/3(Yo+4Y1+Y2) -(f^4 (z))/90 h^5

3 3h/8(Yo+3Y1+3Y2+Y3) -(3f^4 (z))/80 h^5

4 2h/45(7Yo+32Y1+12Y2+32Y3+7Y4) -(8f^6)/945 h^7

En todos los casos, Z ϵ [Xo,Xm]

Regla del trapecio

Es un método de integración numérica, es decir un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

∫_a^b▒f(x)dx

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). La integral es igual al área del trapecio bajo la grafica de la función lineal. Se sigue que

∫_a^b▒〖f(x)dx≈(b-a)(f(a)+f(b))/2〗

Y donde el término error corresponde a:

-(b-a)^3/12 f^2 (ϵ)

Siendo ϵ un numero perteneciente al intervalo [a,b].

La regla del trapecio es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en su intervalo de [a,b]. De tal modo la integral definida representa el area de la región delimitada por la grafica de f y del eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide en el intervalo [a,b] en N subíntervalos, cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n

Después de realizar todo el procedimiento matemático se llega a la siguiente fórmula:

∫_a^b▒〖f(x)dx~h/2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+⋯f(b)〗]

Donde h=(b-a)/n y n es el numero de divisiones.

Regla de Simpson

En la integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en el intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subíntervalos. El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximado los subíntervalos de f mediante polinomios de segundo grado.

Consideraremos el polinomio interpolante de orden 2 P2(x) que aproxima a la función integrando F(x) entre los nodos Xo=a, X1=b y m=(a-b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de lainterpolacion polinomica de Lagrange es:

P_2 (x)=f(a) (x-m)(x-b)/(a-m)(a-b) +f(m) (x-a)(x-b)/(m-a)(m-b) +f(b)((x-a)(x-m))/((b-a)(b-m))

Así la integral buscada

I=∫_a^b▒f(x)dx

Es equivalente

I=∫_a^b▒〖P_2 (x)dx+error=(b-a)/6[f(a)+4f(m)+f(b)+E(f)〗

Donde E(f) equivale a

∫_a^b▒〖f(x)dx≈(b-a)/6[f(a)+4f(m)+f(b)〗

Conclusión

Para utilizar las reglas de Newton-Cotes y ser exactos, el tamaño de paso h tiene que ser pequeña, lo que significa que el intervalo de integración [a,b] debe de ser en sí pequeño,

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