Pitagoras

El teorema de Pitágoras

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

o Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

o En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras.-En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.

El área de este cuadrado será (b+c)2.

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora

como la suma de las áreas de los cuatro

triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando:

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Teorema de Pitágoras generalizado

Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?

(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad

a2 + b2 = c2

PLATÓN.

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La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

EUCLIDES.

La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.

Elementos de Euclides. Proposición I.47.

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.

La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

BHÂSKARA

¡ Mira !

PUZZLES PITAGÓRICOS.

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A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo.

Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.

1. Ozanam 2.- Perigal 3.-

4. Anaricio 5. Bhâskara 6.-

7.- 8.-

2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica.

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