Pitagoras

3.3 El problema de Pitágoras

Demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras

Aunque la tradición es unánime en atribuir el llamado teorema de Pitágoras al gran maestro mismo, hemos visto que los babilonios conocían el resultado para ciertos triángulos c speci por lo menos un milenio antes. Recordamos el teorema como "la área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados restantes." Porque ninguno de los varios escritores griegos que atribuyeron el teorema a Pythagoras vivió en siglos View de él, hay poca evidencia convincente que corrobórate de la creencia general de que el maestro, o incluso uno de sus discípulos inmediatos, dio la primera la prueba rigurosa de esta propiedad característica de triángulos rectos. Por otra parte, la persistente leyenda que cuando Pythagoras había descubierto el teorema, bueyes de un centenar de ced él sacri a las musas en gratitud por la inspiración aparece una historia poco probable, porque el ritual de Pitágoras prohibió cualquier ce sacri en el que la sangre fue derramada. Lo cierto es que la escuela Pythagoras fundada hizo mucho para aumentar el interés en los problemas relacionados directamente con el célebre resultado que lleva su nombre.

Todavía más están en duda sobre qué línea de demostración los griegos originalmente ofrecieron por el teorema de Pitágoras. Si los métodos del libro II de los elementos de Euclides se utilizaron, probablemente era un tipo de disección de prueba similar a la siguiente. Una gran plaza de lado un + b se divide en dos pequeños cuadrados de lados a y b respectivamente, y dos iguales rectángulos con lados a y b;cada uno de estos dos rectángulos se puede dividir en dos triángulos rectos iguales dibujando la diagonal c. Los cuatro triángulos pueden colocarse dentro de otro cuadrado de lado un + b como se muestra en la segunda gura.

Ahora laárea de la misma plaza se puede representar de dos maneras: como la suma de las áreas de dos cuadrados y dos rectángulos,

y como la suma de laáreas de un cuadrado y cuatro triángulos,

Cuando los cuatro triángulos se deducen de la plaza mayor en cada gura, el resultante áreas son iguales; o equivalente, . Por lo tanto, el cuadrado de c es igual a la

suma de los cuadrados de a y b.

Tales pruebas por adición deáreas de son tan simples que puede se han hecho antes y de forma independiente por otras culturas (ningún registro de que el teorema de Pitágoras aparece, cómo-nunca, en ninguno de los documentos supervivientes del antiguo Egipto). De hecho, la civilización china contemporánea, que había crecido en aislamiento efectivo desde las civilizaciones griegas y babilonias, tenía una más aseada y posiblemente mucho anterior prueba que el citar. Esto se encuentra en el texto más antiguo de chino existente que contiene los matemáticos formales-ories, el dela aritmética Clame Gnomon y la trayectorias circulares ofHeaven.La asignación de la fecha de esta obra es culto de dif. Astronómico evidencia sugiere que las partes más antiguas se remontan al año 600 A.C., pero no hay razón para creer que ha sufrido cambios considerables desde el primer escrito. Las fechas de rm de primera que podemos conectarnos con son más de un siglo más tarde de las fechas de Nueve capítulos en el Art. matemáticaUn diagrama en el Clásico de aritmética representa la prueba más antigua conocida del teorema de Pitágoras.

La prueba inspirada por esta figura fue muy admirada por su elegancia sencilla, y que más tarde encontró su camino en el Vijaganita (cálculos de raíz) del Hindú matemático Bhaskara, nacido en 1114. Bhaskara dibuja el triángulo rectángulo cuatro veces en el cuadrado de la hipotenusa, por lo que en el medio queda un cuadrado cuyo lado es igual a la diferencia entre los dos lados del triángulo derecho. Esta última plaza y los cuatro triángulos, a continuación, se reorganizan para compensar las áreas de dos cuadrados, las longitudes de sus lados corresponden a las patas del triángulo derecho. "He", dijo Bhaskara, sin agregar una palabra más:

Primeras soluciones de la ecuación pitagórica

El descubrimiento geométrico que los lados de un triángulo estaban conectados por una ley expresable en números llevadas naturalmente a un problema aritmético correspondiente, que será el problema de Pitágoras de cali. Este problema, uno de los primeros problemas en la teoría de números, llama para determinación todos los derecho triángulos cuyos lados son de longitud integral, es decir, la determinación de todas las soluciones en los enteros positivos de la ecuación pitagórica

Un triple (x, y, z) de enteros positivos satisfacer esta ecuación se dice que es una terna pitagórica.

Antigua tradición atribuye a Pythagoras a sí mismo una solución parcial del problema, expresado en números

donde n > 1 es un entero arbitrario. Como es quizás más la regla que la excepción en tales casos, la atribución de la nombre fácilmente puede ser cuestionado.

Pitágoras presumiblemente llegaron a su solución por una relación que produce un número al cuadrado desde el siguiente número de cuadrados más pequeño, a saber:

La estrategia era suponer que 2 k — 1 es un cuadrado perfecto. (Esto sucede en nitiva a menudo; por ejemplo, si k = 5, entonces k 2 — 1 = 32.) Dejando 2 k — 1 = m2 y problemas para k, obtenemos

Cuando estas valúes son sustituidos en (1), se deduce que

Dónde

satisfacen la ecuación de Pitágoras para cualquier entero impar m > 1 (m debe ser impar, porque es impar). Cuando m = 2n + 1, donde los números (2) se convierten en

que es resultado de Pythagoras. Algunas de las ternas pitagóricas que pueden obtenerse de (3) se muestran en la tabla adjunta.

Como se ve, solución de Pythagoras tiene la particularidad de producir triángulos rectos con la característica que la hipotenusa excede la pierna más grande por 1.

Otra solución especial en el que la hipotenusa y una pierna difieren por 2 es atribuida al filósofo griego Platón, a saber,

Esta fórmula se puede obtener, como el otro, con la ayuda de la relación (1); pero ahora, lo aplicamos dos veces:

Sustituyendo n2 k 4 k de hacer un cuadrado, se llega a la fórmula platónica

Tenga en cuenta que de las ecuaciones (4) es posible producir el triple de Pitágoras (8, 15, 17), que no puede ser obtenido de fórmula de Pythagoras (3).

Ninguna de las reglas mencionadas cuentas para todas las ternas pitagóricas y no fue sino hasta Euclides escribieron

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