Problemas Matemáticos. Distribución Binomial

Distribución Binomial

La Distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos.

Características analíticas

Su función de probabilidad está dada por:

P(X=k)=(■(n@k)) p^k q^(n-k)

n es el número de experimentos

k es el número de éxitos

p es la probabilidad de éxito

q es la probabilidad de fracaso

Ejercicios

1. Suponga que el 50% de artículos que produce cierta máquina son defectuosos. Si 10 artículos son seleccionados, de todos los producidos en el día por dicha máquina , sea X el número de artículos defectuosos, calcular P(5≤X≤9)=?

Ahora

n=10

k toma los valores 5 ,6, 7, 8 y 9

p = probabilidad de éxito = 50% = 50/100=0.5, porcentaje de artículos que son defectuosos

q= probabilidad de fracaso = 1-p=1-0.5=0.5

P(5≤X≤9)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)

P(X=5)=(█(10@5)) 〖(0.5)〗^5 〖(0.5)〗^(10-5)

P(X=6)=(█(10@6)) 〖(0.5)〗^6 〖(0.5)〗^(10-6)

P(X=7)=(█(10@7)) 〖(0.5)〗^7 〖(0.5)〗^(10-7)

P(X=8)=(█(10@8)) 〖(0.5)〗^8 〖(0.5)〗^(10-8)

P(X=9)=(█(10@9)) 〖(0.5)〗^9 〖(0.5)〗^(10-9)

P(5≤X≤9)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)=

(█(10@5)) 〖(0.5)〗^5 〖(0.5)〗^5+(█(10@6)) 〖(0.5)〗^6 〖(0.5)〗^4+(█(10@7)) 〖(0.5)〗^7 〖(0.5)〗^3+(█(10@8)) 〖(0.5)〗^8 〖(0.5)〗^2+(█(10@9)) 〖(0.5)〗^10 〖(0.5)〗^1=

0.2461 + 0.2051 + 0.1172 + 0.0439 + 0.0097= 0.622

2. Suponga que el 40% de artículos que produce cierta máquina son defectuosos. Si 10 artículos son seleccionados, de todos los producidos en el día por dicha máquina , sea X el número de artículos defectuosos, calcular P(X≤3)=?

Ahora

p = probabilidad de éxito = 40% = 40/100=0.4, porcentaje de artículos que son defectuosos

q= probabilidad de fracaso = 1-p=1-0.4=0.6

n=10

k toma los valores 0, 1, 2 y 3

P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

P(X=0)=(█(10@0)) 〖(0.4)〗^0 〖(0.6)〗^(10-0)=0.006045

P(X=1)=(█(10@1)) 〖(0.4)〗^1 〖(0.6)〗^(10-1)=0.04031

P(X=2)=(█(10@2)) 〖(0.4)〗^2 〖(0.6)〗^(10-2)=0.120932

P(X=3)=(█(10@3)) 〖(0.4)〗^3 〖(0.4)〗^(10-3)=0.214990

P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

0.006045 + 0.04031 + 0.120932 + 0.214990 = 0.382278

3. Suponga que el 40% de artículos que produce cierta máquina son defectuosos. Si 10 artículos son seleccionados, de todos los producidos en el día por dicha máquina, sea X el número de artículos defectuosos, calcular P(X>7)

Ahora

p = probabilidad de éxito = 40% = 40/100=0.4, porcentaje de artículos que son defectuosos

q= probabilidad de fracaso = 1-p=1-0.4= 0.6

n=10

k toma los valores 8, 9 y 10

P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)

P(X=8)=0.010616

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