Progresiones aritméticas
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA
CARRERA DE GERENCIA Y LIDERAZGO
ASIGNATURA DE MATEMÁTICA FINANCIERA
Nombre: Daniel cruz Fecha: Jueves 7 de noviembre del 2013
ÁREA DE ESTUDIO: Formación Básica Científica PROF. René Quezada C.
Nivel: Tercero Modalidad: Presencial Grupo: …3… Créditos: 4
TEMA: … Progresiones aritméticas y geométrica.…………………………………………………………………..………………………
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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA: …… http://docencia.udea.edu.co/cen/AlgebraTrigonometria/Archivos/capi01/capi01_3.html
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Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.
Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.
Ejemplo
La sucesión 3, 6, 9, 12, 15, 15, 18, 21 es una progresión aritmética en la cuál el primer término es 3 y la diferencia común es 3.
Ejemplo
Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el noveno es 34, encuentre el primer término.
Solución
Como an = a1 + ( n-1 ) d se tiene entonces:
Para n = 4. 14 = a1 + 3 d.
Para n = 9. 34 = a1 + 8 d
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a1 = 2 y d = 4.
Suma de los términos de una progresión aritmética
Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.
Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a:
S n =.n/2 〔2a1+(n-1)d]
Progresiones geométricas
Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.
El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a1 × rn-1
Ejemplo
La sucesión 4 , 12 , 36 , 108 , 324 , 972 es una progresión geométrica que consta de seis términos.
Ejemplo
Dada una progresión geométrica donde r = 3, a1 = 2 , halle el quinto término.
Solución.
Si en la fórmula que an =a1 rn-1 se toma a1 = 2 , r = 3 y n = 5, se tiene: a5= 2.35-1 , por tanto a5= 162.
Suma y producto de los términos de una progresión geométrica
La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:
S n = (a1(1-r^n))/(1-r) con r # 1.
Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería Sn = a1 × n.
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