Progresiones Aritméticas

Problemas resueltos  de progresiones Aritméticas

1. ¿Cuántos términos hay que tomar de la progresión aritmética 5, 9, 13, 17,…, para que la

suma valga 10 877?

Solución.  Los datos que tenemos son:  a1 = 5  , d = 4,  Sn = 10 877

Conviene emplear la fórmula

⎡ 2a1 + (n − 1)d ⎤

⎣    2

sustituyendo los datos  en la fórmula se tiene

⎡ 2(5) + (n −1)4 ⎤

⎣     2     ⎦

10877 = 5n + 2n2 − 2n

2n2 + 3n −10877 = 0

cuyas raíces son

n =

n =

−3 ± 9 + 87016 −3 ± 87025

4            4

−3 ± 295

4

n1 = 73, n2 = −74.5

por la naturaleza de n, descartamos la raíz  n2 , de manera que n = 73, esto es, deben tomarse

73 términos  de la progresión para que la suma de todos ellos  sea 10 877

2

Hallar una progresión aritmética sabiendo que la suma de  sus primeros cuatro términos

es igual a 26 y el producto de  esos mismos términos vale 880

Solución.

sabemos que  

a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) + (a1 + 3d ) = 26

a1 (a1 + d )(a1 + 2d )(a1 + 3d ) = 880

de (1) se tiene

4a1 + 6d = 26

2a1 + 3d = 13   

(1)

(2)   

a1 =

13 − 3d

2[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

sustituyendo este valor en (2) tendremos

+ d        + 2d        + 3d

⎝  2  ⎠⎝  2     ⎠⎝  2      ⎠⎝  2      ⎠

(13 − 3d ) (13 − d ) (13 + d ) (13 + 3d ) = 14080

2           2

28561 −169d 2 −1521d 2 + 9d 4 = 14080

9d 4 −1690d 2 + 14481 = 0

poniendo D = d2 , se tiene

9D 2 − 1690D + 14481 = 0 

1690

1690

2 9

4 9 14481

D =

18

D =

1690 ± 2334784  1690 ± 1528

18           18

162

18

3218  1609

18    9

de manera que, tenemos cuatro valores para d y por lo tanto cuatro soluciones.

d1 = 3, d 2 = −3

d3 =

1609        1609   

3           3

 puesto que de (1)

a1 =

13 − 3d

2

se tiene para el caso d1 = 3

...