Práctica de Newton, Optimización lineal

[pic 1]

Práctica

Ejercicio 1

Minimizar mediante el método de Newton la función

f(x) = x₁² + 2x₂² + 3x₃² + 4x₄² + (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)²

Obtenemos las primeras 2 derivadas

∇f(x) =[pic 2]

Obtenemos su Hessiana

H f(x)=[pic 3]

Como punto inicial consideramos [pic 4]

Por lo tanto, [pic 5]

Y [pic 6]

[pic 7]

Entonces f([pic 8]

Ejercicio 2

Dada la función

f(x₁, x₂) = x₁² + 4 x₁, x₂ + x₂² +  [pic 9]

y un punto de partida :[pic 10]

1. Determinar la dirección de descenso con máxima pendiente a partir de [pic 11]

-∇f(x)==[pic 12][pic 13]

-∇f(x)= es la dirección de descenso.[pic 14][pic 15]

1. Determinar la dirección de Newton a partir de [pic 16]

[pic 17]

-La dirección de descenso es[pic 18]

[pic 19]

1. Determinar si la matriz Hessiana [pic 20]

H(x)=[pic 21]

Como sabemos una matriz es definida positiva si

x* A[pic 22]

x* A[pic 23]

=2x₁²+ x₁x₂+2x₂²[pic 24]

Dado que puede ser negativo

H([pic 25]

1. Determinar los puntos estacionarios de f

Si  ∇f=[pic 26]

[pic 27]

        =-2[pic 28][pic 29][pic 30]

2, x₁²(-6+2[pic 31][pic 32]

                (-6+2[pic 33][pic 34]

-6+2[pic 35]

x₁²=In(3) x₁=[pic 36][pic 37][pic 38]

Por lo tanto si x₂=- 2x₂ los puntos estacionarios son

[pic 39]

, -2)[pic 40][pic 41]

, 2)[pic 42][pic 43]

Ejercicio 3

Hacer una iteración del método de Newton, aplicando la siguiente función

f(x₁, x₂) =  [pic 44]

1. Comenzando en [pic 45]

Sabemos que [pic 46]

Por lo tanto,

∇f(x)=[pic 47]

∇f()=[pic 48][pic 49]

H()=[pic 50][pic 51]

H(=[pic 52][pic 53]

[pic 54]

Por lo tanto,  f([pic 55]

1. Comenzando en [pic 56]

Sabemos que [pic 57]

∇f()=[pic 58][pic 59][pic 60]

H()=[pic 61][pic 62]

H(=[pic 63][pic 64]

[pic 65]

Por lo tanto,  f([pic 66]

Los valores que arrojan son simbólicos y utilizamos la función “vpa” para convertir los valores simbólicos a valores decimales

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