Práctica de Newton, Optimización lineal
Enviado por Loaeza144 • 8 de Mayo de 2023 • Prácticas o problemas • 253 Palabras (2 Páginas) • 118 Visitas
[pic 1]
Práctica
Ejercicio 1
Minimizar mediante el método de Newton la función
f(x) = x₁² + 2x₂² + 3x₃² + 4x₄² + (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)²
Obtenemos las primeras 2 derivadas
∇f(x) =[pic 2]
Obtenemos su Hessiana
H f(x)=[pic 3]
Como punto inicial consideramos [pic 4]
Por lo tanto, [pic 5]
Y [pic 6]
[pic 7]
Entonces f([pic 8]
Ejercicio 2
Dada la función
f(x₁, x₂) = x₁² + 4 x₁, x₂ + x₂² + [pic 9]
y un punto de partida :[pic 10]
- Determinar la dirección de descenso con máxima pendiente a partir de [pic 11]
-∇f(x)==[pic 12][pic 13]
-∇f(x)= es la dirección de descenso.[pic 14][pic 15]
- Determinar la dirección de Newton a partir de [pic 16]
[pic 17]
-La dirección de descenso es[pic 18]
[pic 19]
- Determinar si la matriz Hessiana [pic 20]
H(x)=[pic 21]
Como sabemos una matriz es definida positiva si
x* A[pic 22]
x* A[pic 23]
=2x₁²+ x₁x₂+2x₂²[pic 24]
Dado que puede ser negativo
H([pic 25]
- Determinar los puntos estacionarios de f
Si ∇f=[pic 26]
[pic 27]
=-2[pic 28][pic 29][pic 30]
2, x₁²(-6+2[pic 31][pic 32]
(-6+2[pic 33][pic 34]
-6+2[pic 35]
x₁²=In(3) x₁=[pic 36][pic 37][pic 38]
Por lo tanto si x₂=- 2x₂ los puntos estacionarios son
[pic 39]
, -2)[pic 40][pic 41]
, 2)[pic 42][pic 43]
Ejercicio 3
Hacer una iteración del método de Newton, aplicando la siguiente función
...