Punto Fijo

MÉTODO DE PUNTO FIJO

Introducción

Es un método interactivo que sirve para resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales, por lo general se utiliza para encontrar las raíces de una función f(x).

Un punto fijo de una función g, es un número p tal que g(p) = p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x) = 0 , podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x) = x – g(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en p, entonces la función definida por f(x) = x – g(x). Posee un cero en p.

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial xo y xi + 1 = g(xi) genera una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación f(x) = 0. A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesión [xn] converge siempre y cuando

(F, 2015)

Ejemplo

Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación

dentro del intervalo

Lo primero es buscar una función adecuada

0

Y claramente elegimos como función iteradora a

además observe que

para toda , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función

iteradora no siempre es fácil.

(F, 2015)

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