Solución del potencial eléctrico en medios dieléctricos
Enviado por sebasxxxandrade • 8 de Mayo de 2017 • Apuntes • 469 Palabras (2 Páginas) • 75 Visitas
ANEXOS
- Solución del potencial eléctrico en medios dieléctricos.
Un material dieléctrico puede ser dividido entre volumen si se considera una densidad volumétrica de carga libre y el vector de polarización, por tanto[pic 1]
,[pic 2]
,[pic 3]
Por tanto
.[pic 4]
Debido a que
,[pic 5]
,[pic 6]
,[pic 7]
Por tanto
.[pic 8]
Teniendo en cuenta la derivada del producto
[pic 9]
Entonces
[pic 10]
Aplicando el teorema de la divergencia
,[pic 11]
.[pic 12]
Por lo tanto, la ecuación del potencial queda
[pic 13]
Entonces se puede definir una densidad superficial y una densidad volumétrica de polarización[pic 14]
[pic 15]
[pic 16]
El término sólo existe en la superficie de contorno, las densidades de carga de polarización son cargas ligadas debido a que no pueden moverse libremente en el material, por tanto[pic 17]
[pic 18]
Al comparar la ecuación anterior con el potencial en el vacío
[pic 19]
Y debido a que entonces teniendo en cuenta la primera ley de Maxwell[pic 20]
[pic 21]
Entonces
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
Si se tiene en cuenta que
[pic 27]
Donde es el vector de polarización entonces este se puede definir como[pic 28]
[pic 29]
De forma general
[pic 30]
Si entonces como se había mencionado en el apartado de dieléctricos.[pic 31][pic 32]
Condiciones de frontera para dos medios
Dos dieléctricos comparten una interfaz perfectamente plana. Se ubica una carga a una distancia de la interfaz en el medio esta carga genera un potencial y en ambos medios, y para calcularlo se tiene en cuenta las condiciones de frontera de dirichlet, cuyas ecuaciones son [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Dado que el potencial de una carga es simétrico se puede despreciar la componente, portanto, el potencial en cualquier punto del espacio se puede expresar en términos de y de [pic 43].En la Figura 22 se muestra la configuración del sistema que se desea solucionar[pic 41][pic 42]
[pic 44]
Figura 22: sistema a solucionar
Para calcular el potencial en el medio la carga q que se encuentra en dicho medio tiene un efecto sobre el medio estos efectos son simulados por una carga imagen [pic 47]′ el cual se crea a la misma distancia. Y por principio de superposición se tiene que.[pic 45][pic 46]
[pic 48] | (8.2.1) |
Donde
[pic 49]
[pic 50]
[pic 51]
Por tanto
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54] | (8.2.2) |
[pic 55] | (8.2.3) |
Si se remplazan 6.2.2 y 6.2.3 en 6.2.1 se obtiene
[pic 56] | (8.2.4) |
También se puede calcular el potencial en el medio usando una carga ubicada en por tanto [pic 57][pic 58][pic 59]
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