Teorema De Cotas

Teorema de las cotas.

Hay varias formas para encontrar la cota superior de un polinomio, aquí presentaremos dos, no se puede decir que una sea mejor que la otra, simplemente un método da la mejor cota para algunas funciones y el otro método es el mejor para otras. Se debe notar que estos teoremas son para encontrar la cota superior, sin embargo, para encontrar la cota inferior simplemente debemos aplicar estos teoremas al polinomio

f (-x) (esta evaluación invierte el polinomio, convirtiendo los ceros positivos en negativos y viceversa), veamos estos dos teoremas.

TEOREMA

(Cota superior de los ceros de un polinomio) Si en una ecuación polinomial de coeficientes reales

f ( x) =an xn+an -1 xn - 1+ ... +a0= 0 (an> 0) el primer coeficiente negativo es precedido por k. Coeficientes positivos o cero, y si G. Denota el valor más grande de los valores absolutos de los coeficientes negativos, entonces cada cero reales menor de 1.Una condición del teorema es que an> 0, es decir, que el coeficiente del primer término debe ser positivo, pero si esto no sucede, tan solo se debe multiplicar el polinomio por -1 ya que - f ( x) = 0tiene los mismos ceros que f ( x) = 0.

Cotas superior e inferior de raíces de polinomios

En el proceso de obtener cada una de las raíces, los cálculos se simplifican considerablemente si se sabe que se localizan en un cierto intervalo [a,b]. Para todo fin práctico, se deben buscar los números a y b de forma que se garantice que todas las raíces del polinomio se encuentren en dicho intervalo. El número a es una cota inferior y el número b es una cota superior de las raíces del polinomio.

Las condiciones para que un número sea cota de las raíces de un polinomio son las siguientes:

Si al efectuar la división sintética de P(x) entre x −b y todos los coeficientes tanto del cociente como del residuo son positivos o cero, entonces b es una cota superior para las raíces.

Si al efectuar la división sintética de P(x) entre x−a y si los signos de los coeficientes tanto del cociente como del residuo presentan signos alternados (en este caso el cero se toma como si fuera positivo), entonces a es una cota inferior para las raíces.

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