Teorema Godel

Para empezar a calentar motores, consideremos la famosa frase de Sócrates:

“Yo sólo sé que no sé nada"

Sócrates afirma que sabe una sola cosa y por lo tanto se contradice al decir que no sabe nada. Ese algo que él sabe es justamente “que no sabe nada”. Si es verdad que “Sócrates no sabe nada” entonces se contradice al afirmar que “yo sólo sé que…”, pues eso que sabe, ya es algo.

Piensa, querido lector, en la aseveración que Sócrates plantea. Es muy probable que él la haya dicho con plena conciencia de la contradicción que encierran sus famosas palabras.

Sócrates hace referencia a sí mismo y ahí es donde aparece la contradicción. El teorema de Gödel tiene que ver con afirmaciones que hacen referencia a sí mismas.

¿Qué podemos concluir? Analicemos esto con cuidado. Empecemos a usar un poco de lenguaje matemático. Titulemos a la proposición anterior con la letra A. Podemos escribir:

A = [Nunca digo la verdad]

Si esto es cierto, entonces Epiménides siempre miente. Por lo tanto todas las afirmaciones que él diga son falsas. En particular la frase A, que él mismo dijo, es necesariamente falsa y en este caso podemos concluir que él siempre dice la verdad. Es decir que si A es verdad, entonces A es mentira y viceversa.

Piénsalo un momento para que te convenzas de que existe una contradicción inherente en la frase debido a una referencia a sí mismo.

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Este cuadro del pintor surrealista René Magritte presenta el mismo tipo de contradicción, pues debajo de un objeto que claramente es una pipa está escrita una frase en francés que dice “Esto no es una pipa”. El cuadro se llama “La Traición de las Imágenes”.

Cuando las palabras y las imágenes hacen referencia a sí mismas, aparece el potencial para lo que Magritte llama la “traición” y de esta forma surgen las paradojas y las contradicciones.

Gödel tuvo la intuición de que una proposición matemática podría hacer referencia a otra proposición matemática y posiblemente a sí misma. Esto, como veremos más adelante, no es tan fácil como parece, pues la referencia debe de hacerse usando lenguaje matemático.

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Consideremos ahora la antigua paradoja llamada

“paradoja de Epiménides o del mentiroso”. Epiménides era un cretense que supuestamente hizo la inmortal aseveración “todos los cretenses mienten”. Supongamos que te encuentras con Epiménides, quien te dice:

“Soy un mentiroso empedernido. Nunca digo la verdad”.

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Dr. Alfredo Alejandro Careaga

4 La siguiente oración es falsa.

Veamos una variante de la “paradoja de Epiménides”. Imaginemos ahora que aparece nuevamente ante nosotros y nos dice:

“Esta aseveración es falsa”.

¿Epiménides está diciendo la verdad o está mintiendo? Analicemos esto con cuidado usando un poco de lenguaje matemático. Llamemos a la proposición anterior B. Podemos escribir:

B = [Esta aseveración no es verdad] = [B es falsa]

Entonces hay dos posibilidades: B es verdadera o bien B es falsa. Veamos cada posibilidad en detalle:

Si B es verdadera, entonces, como B se refiere a sí misma, resulta que lo que B dice es verdad. Y justamente, lo que B dice es que B es falsa.

La otra posibilidad es que B sea falsa. En este caso, lo que B afirma es mentira y lo que afirma es que B es falsa. Entonces resulta que B es verdad.

Nuevamente encontramos que la contradicción aparece en una frase que hace referencia a sí misma.

Este tipo de paradojas que violan la dicotomía habitual que separa las aseveraciones en verdaderas o falsas inspiró a Gödel a usar el razonamiento lógico para analizar al propio razonamiento lógico. Esta idea de hacer “introspección” en las matemáticas resultó muy poderosa y fructífera.

Una forma de expresar el teorema de Gödel se parece a la aseveración B, pero Gödel sustituye la palabra “verdad” por la palabra “demostrable”. La aseveración que veremos más adelante es:

G = [Esta aseveración no es demostrable] = [G es indemostrable]

Lo que dice Gödel es que G puede ser verdad, pero que no vamos a poder demostrar que es verdad.

Aquí aparece por primera vez el hecho de que la verdad

es más poderosa que la demostrabilidad.

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La siguiente paradoja que vamos a analizar es una variante interesante de la de Epiménides.

Consideremos las siguientes dos frases:

La oración anterior es verdadera.

Estas dos aseveraciones tomadas por separado no encierran ninguna contradicción, pero tomadas juntas aparece la paradoja. Esta vez te dejamos que las analices y llegues a la contradicción.

Es interesante observar que la autoreferencia a la que hemos atribuido la aparición de las contradicciones lógicas en los ejemplos anteriores está, en este caso, escondida. El disfraz de la contradicción es un círculo vicioso, ya que la primera frase hace referencia a la segunda y viceversa. Esto se parece a las “Manos que Dibujan”, de M.C. Escher.

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Finalmente veamos lo que se conoce como la "paradoja de Russell". Antes de plantearla les platicaré su historia:

A finales del siglo XIX el matemático Friederich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925), uno de los fundadores de la lógica simbólica, propuso que las matemáticas podían reducirse a la lógica y dedicó la mayor parte de su vida a demostrarlo.Escribió dos grandes y difíciles tomos titulados “Las Leyes Básicas de la Aritmética”. Publicó el primer tomo y cuando el segundo estaba ya en la imprenta, en 1902, recibió una carta de un joven de 30 años llamado Bertrand Russel, quien con gran modestia le planteó una paradoja que generaba una contradicción en el sistema de axiomas de Frege. Después de muchas cartas entre ambos y de tratar de reparar su sistema de

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axiomas, Frege decidió finalmente publicar su segundo tomo, pero en la introducción escribió que hacía la publicación con gran tristeza, pues la obra de toda su vida quedaba en entredicho por la paradoja de Russell.

Friederich Ludwig Gottlob Frege

(1848-1925)

Bertrand Russell (1872 – 1970) fue uno de los pensadores que más lograron hacer avanzar a la lógica en el siglo XX. La paradoja que descubrió puso en duda al campo entero de las matemáticas, pues parecía que la metodología de éstos (que está basada en la lógica) tenía contradicciones esenciales y profundas. La paradoja de Russell propició numerosos e importantes trabajos en teoría de conjuntos, lógica y filosofía para consolidar nuevamente los fundamentos de las matemáticas.

Vivimos en un pueblo apartado de la civilización. En este pueblo es mal visto que los hombres lleven barbas, por lo que todos están rasurados. En el pueblo hay un solo barbero que rasura a todos los hombres que no se rasuran a sí mismos. Entonces podemos separar a los hombres en dos conjuntos: aquellos que acuden al barbero para que los rasure (conjunto al que llamaremos B) y aquellos que se rasuran a sí mismos (conjunto SM).

Sir Bertrand te pregunta, ¿En cuál de estos dos conjuntos está el barbero?

Tal vez contestes “el barbero está en el conjunto SM pues él se rasura a sí mismo”. Es decir, que el barbero rasura al barbero, ¿verdad? Pero si esto es así, entonces acude al barbero para que lo rasure, lo cual implica que forma parte del conjunto B.

También puedes responder que el barbero forma parte del conjunto B de los hombres que le piden al barbero que los rasure. Pero como él es el barbero, esto quiere decir que se rasura a sí mismo, lo cual lo coloca en el conjunto SM.

¿Te queda claro que hay una contradicción difícil

(imposible) de resolver?

Veamos entonces la paradoja de Russell explicada en términos sencillos:

Para terminar mencionaré que fue el propio Bertrand Russell, junto con otro gran matemático, Alfred North Whitehead (1861-1947), quien logró reparar el daño causado a los cimientos de las matemáticas por su famosa paradoja. Entre ambos publicaron en 1913 una de las obras monumentales de esta ciencia, a la que titularon Principia Mathematica y en la que lograron volver a consolidar sus fundamentos.

Sin

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