Teorema Godel

Para empezar a calentar motores, consideremos la famosa frase de Sócrates:

“Yo sólo sé que no sé nada"

Sócrates afirma que sabe una sola cosa y por lo tanto se contradice al decir que no sabe nada. Ese algo que él sabe es justamente “que no sabe nada”. Si es verdad que “Sócrates no sabe nada” entonces se contradice al afirmar que “yo sólo sé que…”, pues eso que sabe, ya es algo.

Piensa, querido lector, en la aseveración que Sócrates plantea. Es muy probable que él la haya dicho con plena conciencia de la contradicción que encierran sus famosas palabras.

Sócrates hace referencia a sí mismo y ahí es donde aparece la contradicción. El teorema de Gödel tiene que ver con afirmaciones que hacen referencia a sí mismas.

¿Qué podemos concluir? Analicemos esto con cuidado. Empecemos a usar un poco de lenguaje matemático. Titulemos a la proposición anterior con la letra A. Podemos escribir:

A = [Nunca digo la verdad]

Si esto es cierto, entonces Epiménides siempre miente. Por lo tanto todas las afirmaciones que él diga son falsas. En particular la frase A, que él mismo dijo, es necesariamente falsa y en este caso podemos concluir que él siempre dice la verdad. Es decir que si A es verdad, entonces A es mentira y viceversa.

Piénsalo un momento para que te convenzas de que existe una contradicción inherente en la frase debido a una referencia a sí mismo.

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Este cuadro del pintor surrealista René Magritte presenta el mismo tipo de contradicción, pues debajo de un objeto que claramente es una pipa está escrita una frase en francés que dice “Esto no es una pipa”. El cuadro se llama “La Traición de las Imágenes”.

Cuando las palabras y las imágenes hacen referencia a sí mismas, aparece el potencial para lo que Magritte llama la “traición” y de esta forma surgen las paradojas y las contradicciones.

Gödel tuvo la intuición de que una proposición matemática podría hacer referencia a otra proposición matemática y posiblemente a sí misma. Esto, como veremos más adelante, no es tan fácil como parece, pues la referencia debe de hacerse usando lenguaje matemático.

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Consideremos ahora la antigua paradoja llamada

“paradoja de Epiménides o del mentiroso”. Epiménides era un cretense que supuestamente hizo la inmortal aseveración “todos los cretenses mienten”. Supongamos que te encuentras con Epiménides, quien te dice:

“Soy un mentiroso empedernido. Nunca digo la verdad”.

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El teorema de Gödel

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Dr. Alfredo Alejandro Careaga

4 La siguiente oración es falsa.

Veamos una variante de la “paradoja de Epiménides”. Imaginemos ahora que aparece nuevamente ante nosotros y nos dice:

“Esta aseveración es falsa”.

¿Epiménides está diciendo la verdad o está mintiendo? Analicemos esto con cuidado usando un poco de lenguaje matemático. Llamemos a la proposición anterior B. Podemos escribir:

B = [Esta aseveración no es verdad] = [B es falsa]

Entonces hay dos posibilidades: B es verdadera o bien B es falsa. Veamos cada posibilidad en detalle:

Si B es verdadera, entonces, como B se refiere a sí misma, resulta que lo que B dice es verdad. Y justamente, lo que B dice es que B es falsa.

La otra posibilidad es que B sea falsa. En este caso, lo que B afirma es mentira y lo que afirma es que B es falsa. Entonces resulta que B es verdad.

Nuevamente encontramos que la contradicción aparece en una frase que hace referencia a sí misma.

Este tipo de paradojas que violan la dicotomía habitual que separa las aseveraciones en verdaderas o falsas inspiró a Gödel a usar el razonamiento lógico para analizar al propio razonamiento lógico. Esta idea de hacer “introspección” en las matemáticas resultó muy poderosa y fructífera.

Una forma de expresar el teorema de Gödel se parece a la aseveración B, pero Gödel sustituye la palabra “verdad” por la palabra “demostrable”. La aseveración que veremos más adelante es:

G = [Esta aseveración no es demostrable] = [G es indemostrable]

Lo que dice Gödel es que G puede ser verdad, pero que no vamos a poder demostrar que es verdad.

Aquí aparece por primera vez el hecho de que la verdad

es más poderosa que la demostrabilidad.

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La siguiente paradoja que vamos a analizar es una variante interesante de la de Epiménides.

Consideremos las siguientes dos frases:

La oración anterior es verdadera.

Estas dos aseveraciones tomadas por separado no encierran ninguna contradicción, pero tomadas juntas aparece la paradoja. Esta vez te dejamos que las analices y llegues a la contradicción.

Es interesante observar que la autoreferencia a la que hemos atribuido la aparición de las contradicciones lógicas en los ejemplos anteriores está, en este caso, escondida. El disfraz de la contradicción es un círculo vicioso, ya que la primera frase hace referencia a la segunda y viceversa. Esto se parece a las “Manos que Dibujan”, de M.C. Escher.

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Finalmente veamos

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