Teorema de Fermat

En análisis matemático, el teorema de Fermat -no confundir con el último teorema de Fermat-, afirma que:

Si una función f alcanza un máximo o mínimo local en c, y si la derivada f '(c) existe en el punto c, entonces f '(c) = 0.

Suele utilizarse como método para hallar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en intervalos abiertos, ya que todos ellos son puntos estacionarios de la función (puntos donde la función derivada vale cero, \displaystyle f'(x)=0). El teorema de Fermat sólo da una condición necesaria para los máximos y mínimos locales, sin embargo, no se refiere a otra clase de puntos estacionarios como son en ciertos casos los puntos de inflexión (que no son ni máximos ni mínimos). La derivada segunda de la función (\displaystyle f'') -si es que existe- puede indicar si el punto estacionario en cuestión es un máximo, un mínimo, o un punto de inflexión. El teorema de Fermat es un teorema de análisis real llamado así en honor a Pierre de Fermat.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)

Ejemplos

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

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