Teorema de perron
Enviado por Juan Carmona Herrera • 25 de Octubre de 2019 • Tareas • 462 Palabras (2 Páginas) • 132 Visitas
TEOREMA DE PERRON:
Sea una matriz positiva de . Entonces tiene un auto valor real con las siguientes propiedades:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
- [pic 5]
- tiene un auto vector positivo correspondiente[pic 6]
- Si es cualquier otro auto valor de , entonces .[pic 7][pic 8][pic 9]
Demostración:
Para demostrar la primera parte del teorema a) y b), podemos empezar mencionando que:
Los auto vectores son aquellos que verifican que al multiplicarlos por una matriz , obtenemos [pic 10][pic 11]
el mismo resultado como si los hubiéramos multiplicado por un escalar es decir:[pic 12]
[pic 13]
De aquí que obtenemos,
[pic 14]
[pic 15]
Y recordaremos que da lugar al polinomio característico,[pic 16]
Si desarrollamos matemáticamente el polinomio característico,
[pic 17]
Donde vemos que ,
[pic 18]
Lo cual nos lleva
[pic 19]
[pic 20]
Observación:
Si tenemos que la matriz es positiva y de orden , donde cada una de sus entradas [pic 21][pic 22]
es positiva podemos ver que la correspondiente transformación matricial mapea el primer
cuadrante del plano adecuadamente en sí misma, donde converge hacia algún rayo del primer
cuadrante y un vector directo para este rayo seria el vector positivo que debe mapearse de [pic 23]
algún múltiplo positivo de sí mismo el cual podría ser puesto que deja el rayo fijo es decir:[pic 24][pic 25]
, con y ambos positivos.[pic 26][pic 27][pic 28]
Para continuar con la demostración debemos mencionar que un valor propio puede tener [pic 29]
asociados muchos valores propios distintos es decir, si es un vector propio de asociado con [pic 30][pic 31][pic 32]
y es cualquier número real distinto de cero, entonces[pic 33]
[pic 34]
En consecuencia, también es un vector propio de , asociado con .[pic 35][pic 36][pic 37]
Sea tal que para algún escalar , entonces para todo [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
Ahora demostraremos que
[pic 43]
Si no , entonces
[pic 44]
Y al aplicar nuevamente, se obtiene [pic 45]
[pic 46]
Donde la desigualdad de conserva, pues es positiva.[pic 47]
Si obtenemos el siguiente vector unitario,
[pic 48]
El cual satisface,
de tal forma que podemos hallar algún tal que , esto contradice el [pic 49][pic 50][pic 51]
hecho que era el valor máximo con esta propiedad, por lo tanto ocurre el caso en donde [pic 52]
...