Teorema de perron

TEOREMA DE PERRON:

Sea  una matriz positiva de  . Entonces  tiene un auto valor real  con las siguientes propiedades:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

1. [pic 5]
2.  tiene un auto vector positivo correspondiente[pic 6]
3. Si  es cualquier otro auto valor de  , entonces .[pic 7][pic 8][pic 9]

Demostración:

Para demostrar la primera parte del teorema a) y b), podemos empezar mencionando que:

Los auto vectores  son aquellos que verifican que al multiplicarlos por una matriz  , obtenemos [pic 10][pic 11]

el mismo resultado como si los hubiéramos multiplicado por un escalar   es decir:[pic 12]

[pic 13]

De aquí que obtenemos,

[pic 14]

[pic 15]

Y recordaremos que  da lugar al polinomio característico,[pic 16]

Si desarrollamos matemáticamente el polinomio característico,

[pic 17]

Donde vemos que ,

[pic 18]

Lo cual nos lleva

[pic 19]

[pic 20]

Observación: 

Si tenemos que la matriz  es positiva y de orden  , donde cada una de sus entradas [pic 21][pic 22]

es positiva podemos ver que la correspondiente transformación matricial mapea el primer

cuadrante del plano adecuadamente en sí misma, donde converge hacia algún rayo del primer

cuadrante y un vector directo para este rayo seria el vector positivo  que debe mapearse de [pic 23]

algún múltiplo positivo de sí mismo el cual podría ser  puesto que  deja el rayo fijo es decir:[pic 24][pic 25]

 , con  y   ambos positivos.[pic 26][pic 27][pic 28]

Para continuar con la demostración debemos mencionar que un valor propio  puede tener [pic 29]

asociados muchos valores propios distintos es decir, si   es un vector propio de  asociado con  [pic 30][pic 31][pic 32]

y  es cualquier número real distinto de cero, entonces[pic 33]

[pic 34]

En consecuencia,  también es un vector propio de  , asociado con .[pic 35][pic 36][pic 37]

Sea  tal que  para algún escalar  , entonces   para todo  [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Ahora demostraremos que  

[pic 43]

Si no , entonces

[pic 44]

Y al aplicar  nuevamente, se obtiene [pic 45]

[pic 46]

Donde la desigualdad de conserva, pues  es positiva.[pic 47]

Si obtenemos el siguiente vector unitario,

[pic 48]

El cual satisface,

 de tal forma que podemos hallar algún  tal que   , esto contradice el [pic 49][pic 50][pic 51]

hecho que era el valor máximo con esta propiedad, por lo tanto ocurre el caso en donde [pic 52]

 tal que  es un auto valor de [pic 53][pic 54][pic 55]

Ahora tenemos que es positivo y  , de modo que   [pic 56][pic 57][pic 58]

Esto significa que  y  .[pic 59][pic 60]

Para demostrar la parte c) vamos a suponer que  es cualquier otro auto valor es decir puede ser [pic 61]

real o complejo con respecto a la matriz  al cual le corresponde el auto vector [pic 62][pic 63]

entonces , [pic 64][pic 65]

y al tomar el valor absoluto podemos ver ,

     (Desigualdad Triangular)[pic 66]

Dado que

, el vector unitario  en la dirección de  también es positiva donde se cumple que [pic 67][pic 68][pic 69]

...