Trignometría

TRIGONOMETRÍA

A. Introducción teórica

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes).

A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.

A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.

B. Ejercicios resueltos

B.1. Razones trigonométricas.

B.2. Ecuaciones trigonométricas.

B.3. Problemas.

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Razones trigonometricas de un triangulo rectangulo:

Las razones trigonometricas de un triangulo

rectangulo son las siguientes funciones:

La funcion seno, coseno, tangente, cosecante,

secante y cotangente.

Todas ellas pueden entenderse como

relaciones entre los lados de un triangulo

rectangulo.

Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los angulos α y β

del triangulo rectangulo aqui representado:

a) Para el angulo α:

funcion seno funcion coseno funcion tangente

a = a

sen

c

a = b

cos

c

a = a

tg

b

funcion cosecante funcion secante funcion cotangente

1 c

cos ec

sen a

a = =

a a = =

a

1 c

sec

cos b

a = =

a

1 b

cotg

tg a

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

2/22

b) Para el angulo β:

funcion seno funcion coseno funcion tangente

b = b

sen

c

b = a

cos

c

b = b

tg

a

funcion cosecante funcion secante funcion cotangente

b = =

b

1 c

cosec

sen b

b = =

b

1 c

sec

cos a

b = =

b

1 a

cotg

tg b

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos angulos significativos

(en grados y radianes)

angulo sen cos tg angulo sen cos tg

0o 0 rad 0 1 0 60o rad

3

p

3

2

1

2

3

30o rad

6

p

1

2

3

2

1

3

90 rad

2

p

1 0 ¥

45o rad

4

p

2

2

2

2

1 180o p rad 0 –1 0

A.3. Significado geometrico de las razones trigonometricas en la esfera

goniometrica

Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la

unidad. Para una circunferencia goniometrica es posible dar un sentido

muy intuitivo a todas las razones trigonometricas. Vamos a verlo

mediante el siguiente dibujo.

TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

3/22

A.4. Relaciones entre las razones trigonometricas

a) Relaciones fundamentales:

El seno, el coseno y la tangente de un angulo estan relacionados

mediante la siguiente igualdad:

sen

tg

cos

θ

= θ

θ

Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente

vinculada al teorema de Pitagoras:

sen2θ+cos2 θ = 1

b) Relaciones del angulo suma–diferencia:

sen(a ± b) = sena× cosb ± senb× cosa

cos (a ±b) = cosa× cosb ∓ sena× senb

(a ± b) = a ± b

a× b

tg tg

tg

1 ∓ tg tg

c) Relaciones del angulo doble

Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.

sen(2a) = 2sena× cosa

( a) = 2 a - 2a cos 2 cos sen

( a) = a

- 2a

2tg

tg 2

1 tg

d) Relaciones del angulo mitad

2 a = 1 - cosa

sen

2 2

2 a = 1 + cosa

cos

2 2

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

4/22

a = - a

+ a

2 1 cos

tg

2 1 cos

A.5. Resolucion de triangulos: Teoremas del seno y del coseno

Sea el siguiente triangulo. !No hace falta que sea rectangulo! Se

verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno

y teorema del coseno.

a) Teorema del seno: a = b = c

senA senB senC

b) Teorema del coseno: 2 = 2 + 2 - a b c 2bc cosA

B. EJERCICIOS RESUELTOS

B.1. Cálculo de razones trigonométricas

1. Sabiendo que senα =0,86 calcula las demas razones trigonometricas

directas e inversas

Solucion:

Las razones trigonometricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y

las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar

todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:

• senα =0,86

B C

A

c b

a

TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

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• El coseno se deduce a partir de la ecuacion fundamental

sen2q + cos2 q = 1 :

2 2 2 2 2 sen θ+cos θ = 1⇒cos θ = 1−sen θ⇒cos θ = 1−sen θ

Sustituyendo datos:

2 2 1

cos 1 sen cos 1 0,86 cos

2

θ = − θ ⇒ θ= − ⇒ θ =

• La tangente buscada se deduce de la formula fundamental

sen

tg

cos

θ

= θ

θ

. Solo hay que sustituir en ella los valores conocidos:

sen 0,86

tg tg tg 1,72

cos 0,5

θ

= θ⇒ θ= ⇒ θ=

θ

• La cosecante es la inversa del seno.

1 1

cosec sen 1,26

0,86

− α = α = =

• La secante es la inversa del coseno.

1 1

sec cos 2

1

2

− α = α = =

• La cotangente es la inversa de la tangente.

1 1

cotg tg 0,58

1,72

− α = α = =

2. Calcula las relaciones trigonometricas

directas de α y β

Solucion:

Las razones trigonometricas directas son el

seno, el coseno y la tangente.

_ Para el angulo a:

40

sen sen 0,8

50

a = ⇒ a = ,

30

cos cos 0,6

50

a = ⇒ a =

40

tg tg 1,33

30

a = ⇒ a =

Observa que se cumple que 2 2 sen a + cos a = 1

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

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_ Para el angulo b :

30

sen sen 0,6

50

b = ⇒ b =

40

cos cos 0,8

50

b = ⇒ b =

30

tg tg 0,75

40

b = ⇒ b =

Observa que tambien se cumple que sen2b + cos2 b = 1 , como no podia

ser de otra manera.

3. Halla las razones trigonometricas de los siguientes angulos:

_ 135o

Solucion:

El angulo 135o esta en el 2o cuadrante. Sera equivalente a un angulo

de 45o para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se

indica en la figura.

_ - 560o

Solucion:

Como el angulo es mayor que 360o lo tratamos del siguiente modo:

560 360

1 vuelta 360o 200o

200 1



⇒ ⋅ + 



El angulo que tenemos que manejar es -200o. Ello es equivalente a un

angulo de 20o en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y

cos20 es negativo

135o

45o

- cos 45

sen 45

TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

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4. Sabiendo que

3

cos

2

α = y que α esta en el 4o cuadrante, halla las

demas razones trigonometricas.

Solucion:

Si α esta en el 4o cuadrante entonces cosα es positivo y senα es

negativo.

El senα lo deducimos usando la relacion fundamental de la

trigonometria: sen2α+cos2 α = 1

Asi:

2

2 2 2 3 3 1

sen cos 1 sen 1 sen 1

2 4 2

    α+ α = ⇒ α+  = ⇒ α =−  −  =−        

El resto de razones trigonometricas se obtiene de forma inmediata:

1

sen 2 1 tg

cos 3 3

2

−

α

α = = =−

α

;

1

cotg 3

tg

α = =−

α

;

1 3

sec

cos 2

α = =

α

;

1

cosec 2

sen

α = =−

α

5. Sabiendo que

1

tg

3

α =− y que α esta en el 2o cuadrante, halla las

demas razones trigonometricas.

Solucion:

Si α esta en el 2o cuadrante entonces cosα es negativo y senα es

positivo.

- Utilizamos la relacion 2

2

1

tg 1

sen

α+ =

α

para hallar senα :

2

2

2 2 2

1 1 1 4 1 3

tg 1 1 sen

sen 3 sen 3 sen 2

  α+ = ⇒−  + = ⇒ = ⇒ α = α   α α

-200o

20o

- cos 45

sen 20

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

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- Hallamos cosα a partir de

sen

tg

cos

α

α =

α

:

3

...