Wavelet

2.1 INTRODUCCION

En este capítulo se abordaran de manera simple algunos temas relacionados con la transformada wavelet, dicha simplicidad se maneja con el fin de facilitar el entendimiento al lector, dichos temas son: la transformada wavelet continua (CWT), el análisis multirresolución (MRA), la transformada wavelet discreta (DWT) y bancos de filtros.

A medida que han pasado los años la aplicación de la transformada wavelet en el procesamiento de señales a estado incrementando continuamente; este continuo crecimiento se debe a la dualidad que presenta su análisis pues genera una representación de la señal en tiempo-frecuencia, que es mucho mejor que la ofrecida por la Transformada corta de Fourier (STFT). A diferencia de la STFT, la transformada wavelet usa una ventana de “ancho variable”, es amplia cuando se trata de bajas frecuencias y angosta para altas frecuencias.

2.2 TRANSFORMADA CONTINÚA WAVELET

Una función Ψ(t)∈L^2 (R) es una wavelet continua si el conjunto de funciones

Ψ_(b,a) (t)=1/√a Ψ((t-b)/a) (5)

es una base ortonormal en el espacio de Hilbert L^2 (R), donde a y b son reales.

El conjunto de funciones Ψ_(b,a) (t) son generadas por la traslación y la dilatación de la función Ψ(t). El parámetro a es un parámetro de escalamiento, cuando este parámetro es modificado, cambia la frecuencia central y el ancho de banda de Ψ(t), además de a también depende la resolución de la transformada wavelet en tiempo y en frecuencia, valores pequeños del parámetro de escalamiento generan buena localización en tiempo y una resolución pobre en frecuencia por el contrario si el valor de a es grande la resolución en frecuencia es buena y en tiempo no lo es. El parámetro de tiempo de retardo b produce un movimiento a lo largo del eje del tiempo. Al dividir Ψ por √a se asegura que todos los miembros del conjunto {Ψ_(b,a) (t)} tenga norma uno. La función Ψ(t) desde la cual se genera el conjunto de funciones Ψ_(b,a) (t) es generalmente llamada wavelet madre.

Para que una función Ψ(t) sea considerada wavelet debe cumplir las siguientes propiedades, que:

La integral de Ψ(t) que depende del tiempo tenga como resultado cero y la transformada de Fourier de Ψ(t) sea igual a cero siendo ω = 0.

Ψ(ω=0)=∫_(-∞)^∞▒〖Ψ(t)dt=0〗 (6)

Ψ(t) tenga energía finita.

∫_(-∞)^∞▒〖|Ψ(t)|^2 dt<∞〗 (7)

Ψ(t) satisfaga la condición de admisibilidad, que es la encargada de asegurar una reconstrucción perfecta de la señal a partir de la representación wavelet.

∫_(-∞)^∞▒〖|Ψ(ω)|^2/ω dω=C_Ψ<∞〗 (8)

La transformada wavelet continua (CWT) W_X (b,a) de una señal x(t) que s continua en tiempo está definida por :

W_X (b,a)=1/√a ∫_(-∞)^∞▒〖x(t) Ψ^* ((t-b)/a)dt〗 (9)

donde a y b son reales. La CWT es el resultado del producto interno entre x(t) y la versión compleja conjugada de la wavelet trasladada y conjugada.

La CWT puede ser expresada como una convolución:

W_X (b,a)=〈x(t),〖Ψ^*〗_(b,a) (t)〉=x(t)*〖Ψ^*〗_(b,a) (-t) (10)

La ecuación (10) puede ser interpretada como la descripción de la salida de un banco de filtros infinitos lineales para una respuesta impulso Ψ_(b,a) (t) sobre un rango continuo de escalas a.

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