Las Morfosintaxis Locas

MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA

José Ignacio Royo Prieto (*)

Resumen

La papiroflexia es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando papel plegado.

En esta exposición se muestran algunos aspectos de la papiroflexia en los que las

matemáticas tienen un papel destacado.

1. INTRODUCCIÓN

1.1. Qué es la Papiroflexia

La papiroflexia es el arte de hacer figuras reconocibles utilizando

papel plegado. Según la corriente más ortodoxa de la papiroflexia,

tan sólo está permitido plegar el papel, sin usar tijeras ni pegamento.

Además, se deberá utilizar como punto de partida un único

trozo de papel cuadrado. A pesar de que estas normas puedan parecernos

muy restrictivas, las posibilidades que nos ofrece la papiroflexia

son casi infinitas.

Los diseños más populares son, sin duda, la pajarita de papel, el

gorro de papel y el barquito, así como algún que otro avión. Estos

diseños son muy simples, pero en las últimas décadas, papiroflectas de todo el mundo han

desarrollado técnicas a cual más compleja para obtener modelos de muchas puntas. Coches,

barcos, aviones, muebles, leones, perros, insectos con todas sus patas y antenas, mamíferos

con todo tipo de cuernos, orejas y colas, dragones, dinosaurios, esqueletos, pulpos, peces,

crustáceos, arañas, seres humanos, máscaras... Seres animados e inanimados, reales y fantásticos,

sencillos y con todo lujo de detalles forman parte del inmenso repertorio de la papiroflexia

moderna.

1.2. Un poco de historia

El origen de la papiroflexia hemos de situarlo en Japón. La palabra japonesa

para la papiroflexia es origami. Su escritura está compuesta por dos caracteres:

En el primero, el radical de la izquierda deriva del dibujo de una mano,

y significa doblar (ori). El segundo deriva del dibujo de la seda, y significa

papel (kami).

(*) Profesor del Departamento de Matemáticas. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea

Maitreya (Hoyjo Takashi)

Origami

La historia de la papiroflexia (ver [Engel]) comienza junto con la

del papel, en China, allá por el siglo I ó II, y llega a Japón en el

siglo VI. En un principio, era un divertimento de las clases altas,

pues eran las únicas que podían conseguir papel, que constituía

un artículo de lujo. Los guerreros Samurai intercambiaban regalos

adornados con noshi, trozos de papel doblados en abanicos de

variadas formas, sujetos con cintas de carne seca. Hoy en día, se

mantiene la expresión origami tsuki, que significa “certificado”, o

“garantizado”, y que deriva del plegado especial con el que se

preparaban los diplomas que recibían los maestros de las ceremonias

de té. Dicho plegado garantizaba que no se pudiera volver

a plegar en su forma original sin realizar nuevas cicatrices en

el papel.

En el período Muromachi (1338-1573), el papel era un producto

más accesible, y surgieron ciertos adornos de papiroflexia con significados distintos que revelaban,

por ejemplo, la clase social de cada persona, de modo que, según el distintivo de papiroflexia

que llevase un individuo, se podía distinguir si era un granjero, un guerrero samurai

o un seguidor de tal o tal maestro filósofo.

La “democratización” de la papiroflexia se dio en el período

Tokugawa (1603-1867), el cual conoció una gran explosión

cultural. Es en este período en el que surge la base pájaro, la

base usada por la grulla (zuru), que es la figura más popular en

Japón, tal como lo es aquí la pajarita. Dos libros legendarios

recogen las primeras instrucciones de plegado: el Sembazuru

Orikata (Cómo Plegar Mil Grullas) en 1797, y el Kan No Mado

(Ventana abierta a la estación de invierno), de 1845, en el cual

aparece por primera vez la base de la rana.

No sólo se dobló en Japón. Los musulmanes también practicaron

la papiroflexia, y si no hubiera sido por los Reyes Católicos y el Cardenal Cisneros, a buen

seguro la tradición de doblar papel en la península ibérica hubiera tenido muchísima más

repercusión en nuestros días. La pajarita (o pájara pinta, llamada así porque cuando es plegada

con un papel de colores distintos por ambas caras aparece con la cabeza de un color

distinto que el cuerpo) forma parte de la cultura popular española desde, por lo menos, el siglo

XVII. El gran impulsor de la papiroflexia a principios de siglo fue el universal bilbaíno Miguel

de Unamuno y Jugo. Tras visitar la Exposición Universal de París de 1889, junto a la inauguración

de la Torre Eiffel, Unamuno descubre maravillado una exposición de origami de Japón.

A su vuelta, retomaría su afición a doblar pajaritas, según él, cocotología, creando su propia

“escuela” de plegadores. El genial escultor anarquista oscense Ramón Acín (1888-1936) ha

sido uno de los que ha rendido homenaje a la pajarita con su famosa “Pajarita sobre cubo”,

escultura de piedra que podemos apreciar en un parque de Huesca.

El patriarca de la papiroflexia moderna es el japonés Akira Yoshizawa, una leyenda viva de los

maestros orientales de Origami. Es a Yoshizawa a quien debemos la simbología actual de las

instrucciones de plegado de los modelos (Sistema Yoshizawa-Randlett, 1956). Esto ha constituido,

sin lugar a duda, la aportación más importante a la papiroflexia desde la invención del

papel, ya que ha permitido la difusión internacional de las distintas creaciones, al no importar

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José Ignacio Royo Prieto

Composición de grullas

del Sembazuru Orikata

Miguel de Unamuno (Zuloaga)

el idioma en el que estén escritos los desarrollos. Para

Yoshizawa, el Origami conlleva una filosofía de la vida, y pertenece

a ese estado de la luz que en filosofía oriental se denomina

ke, concepto asociado a la luz baja, las sensaciones íntimas

y la armonía en silencio, por oposición al hare, que denota

la explosión de luz, brillantez y la espectacularidad. Yoshizawa

reza, medita, estudia y siente en un sentido ciertamente religioso

cada animal, rostro o figura que va a plegar. Se dice que

pasó varios años observando a un cisne que vivía en el estanque

de su casa hasta que decidió plegarlo. Según la escuela de

Yoshizawa, el plegado es un diálogo entre el artista y el papel,

el cual hay que realizarlo en el aire, sólo con las manos, ya que

de apoyarlo en la mesa, estaríamos transmitiendo a la futura

figura el yin de la mesa en lugar del propio. En Japón, Yoshizawa

es considerado como una divinidad, y sus figuras rezuman vida,

transmitiendo una sensibilidad asombrosa.

La papiroflexia ha experimentado una auténtica explosión de

creatividad en las tres últimas

décadas, debido a la mejor

comunicación de los modelos, y

también al desarrollo de técnicas para realizar figuras cada vez

más complejas. Según P.Engel (ver [Lang1]), en los 80 podemos

señalar dos corrientes en la papiroflexia moderna:

• Por un lado, tenemos la escuela japonesa, donde la papiroflexia

ha sido cultivada por artistas no científicos. La

filosofía consiste aquí en expresar, sugerir, captar la esencia

de lo que se quiere representar con un mínimo de

pliegues, aunque la figura resultante no sea anatómicamente

perfecta;

• Por otro lado, la escuela occidental, donde la papiroflexia

ha sido desarrollada por matemáticos, ingenieros, físicos,

arquitectos... Se persigue la exactitud anatómica, es

decir, representar los insectos con todas las patas, pestañas,

cuernos, alas... Para ello se han desarrollado multitud

de métodos matemáticos.

Hoy en día no se puede hacer tal distinción, ya que japoneses científicos como Toshikuyi

Meguro, Jun Maekawa, Issey Yoshino, Seiji Nishikawa, Fumiaki Kawahata, Tomoko Fuse,

Toshikazu Kawasaki y otros muchos, integrantes del grupo Origami Tanteidan (Detectives de

la Papiroflexia) han diseñado modelos de increíble complejidad. En estos momentos, más bien

se puede distinguir entre los que usan técnicas geométricas de diseño (sumando a los anteriores

a los americanos John Montroll y Robert Lang, y el madrileño J. Aníbal Voyer, entre

otros), y los que buscan la expresividad en otros elementos, tales como la textura del papel,

la suavidad de los dobleces y la observación del modelo a representar. Estos últimos utilizan

la técnica del papel humedecido, de la cual son especialistas Akira Yoshizawa, el americano

Michael Lafosse, el francés Eric Joisel, el italiano David Derudas y el británico David Brill.

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Matemáticas y Papiroflexia

Akira Yoshizawa y dos elefantes

de su creación

Avispa (Satoshi Kamiya)

Otra rama de la papiroflexia moderna es la papiroflexia modular, o unit origami, en el cual se

pliegan varias piezas sencillas independientemente para acabar encajándolas (sin pegamento,

por supuesto) con el fin de formar un motivo casi siempre geométrico. Los pioneros de esta

modalidad de origami son Robert Neale y Lewis Simon, (EEUU, década de los 60), si bien

quien más ha impulsado esta modalidad es la genial japonesa Tomoko Fuse.

1.3. Relación de la papiroflexia con las matemáticas

La mejor manera de darse cuenta de la relación

entre las matemáticas y la papiroflexia es desplegar

un modelo y observar el cuadrado inicial: aparece

ante nuestros ojos un complejo de cicatrices

que no es sino un grafo que cumple unas ciertas

propiedades. Intuitivamente, hay unas “matemáticas

del origami” funcionando cuando plegamos

un modelo. En este trabajo señalaremos tres

aspectos fundamentales en los cuales la matemática

aflora en la papiroflexia:

1) Papiroflexia modular: representación de poliedros y figuras geométricas;

2) Axiomas de constructibilidad teoría de puntos constructibles con Origami, paralela a

la existente con regla y compás;

3) Diseño de figuras: métodos matemáticos para la creación papirofléctica.

La intención de esta exposición es que sea una miscelánea agradable, ilustrativa y divulgativa

sobre un tema que es muy poco conocido, pero atractivo. También quiere ser una prueba más

de que las matemáticas son cultura.

2. PAPIROFLEXIA MODULAR: CONSTRUCCIÓN DE POLIEDROS

2.1. Dos cositas sobre poliedros

Un poliedro se puede definir como un conjunto conexo de R3 formado por un número finito

de polígonos planos que se juntan de una manera razonable. Aquí “razonable” quiere decir

que cada lado de un polígono pertenece exactamente a otro polígono del poliedro, y de

manera que los polígonos que concurran en cada

vértice formen un circuito simple (para evitar anomalías

tales como el caso de dos pirámides unidas

por el vértice). Los polígonos son llamados

caras, y sus lados, aristas. Un poliedro es, por lo

tanto, una superficie cerrada (no diferenciable,

pues tiene aristas y vértices), y divide al espacio

en dos partes: una no acotada y otra acotada a la

que llamaremos interior. El caso más importante

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José Ignacio Royo Prieto

Pájaro aleteador con su mapa de cicatrices

Dodecaedro y dodecaedro estrellado (Tomoko Fuse)

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Matemáticas y Papiroflexia

es el de los poliedros convexos, en el cual el interior es un conjunto convexo, (es decir, tal

que el plano que contiene a una cara no penetra en el poliedro), de modo que podemos definirlo

en coordenadas cartesianas mediante un sistema de desigualdades:

aix+biy+ciz²diV- i=1,…,C

siendo C el número de caras. Ejemplos de poliedros son una caja de zapatos, una pirámide,

un cubo, un tetraedro...

Los poliedros más famosos son, sin duda, los llamados sólidos platónicos.

Se dice que un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos

regulares idénticos y si en cada vértice concurre el mismo número de aristas.

Sorprendentemente, tan sólo existen cinco: el tetraedro, el cubo, el

octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Este resultado se atribuye a

Teeteto (425-379 a.C.), de la escuela de Platón. Existen pruebas elementales

de este resultado, pero la forma elegante de hacerlo es utilizar la

famosa fórmula de Euler, de la que más adelante hablaremos. Platón en

su libro Timeo (ap. 55-56) atribuye a cada uno de estos sólidos uno de los

cuatro elementos en el pasaje en el que describe la creación del universo.

Así, el tetraedro es el fuego, el octaedro, el aire, el cubo es la tierra y el

icosaedro, las moléculas de agua. Finalmente, relata cómo el Creador utilizó

el dodecaedro para formar el universo. Esta es la razón por la cual se

les conoce como sólidos platónicos.

Los poliedros son entes matemáticos que brotan de la forma más insospechada

en distintos ámbitos de nuestra vida: desde las pirámides de

Egipto hasta los cubos en los que cristaliza la pirita, pasando por los balones

de fútbol. Han fascinado a los matemáticos y las matemáticas, que se

han dedicado a su estudio desde la antigua Grecia, y constituyen hoy en

día motivo de investigación activa. Entre los muchos que se han ocupado

de su estudio cabría citar a Arquímedes, Kepler, Descartes, Euler, Cauchy,

Steinitz, Alexandrov, Weil, Coxeter, Schläffi y Banchoff, dejándonos a

muchos por el camino. Una referencia obligada sobre poliedros es [Cox]

2.2. Papiroflexia modular

Como hemos comentado antes, la papiroflexia modular consiste en hacer figuras utilizando

varios papeles que darán lugar a piezas individuales que llamaremos módulos. Cada uno de

estos módulos posee solapas y bolsillos, que se usan para ensamblarlos entre sí. Es usual representar

de esta manera figuras geométricas, y que el plegado de cada módulo sea sencillo. Los

poliedros son la principal fuente de inspiración de esta modalidad, aunque no la única.

Aparte del valor artístico y estético de la papiroflexia modular, su interés para con las matemáticas

es doble:

1) Nos permite la representación física de entes abstractos. En este sentido, tiene el

mismo interés que puede tener un programa de ordenador que dibuje poliedros, si

bien es mucho más revelador tener en la mano un icosaedro, palparlo y girarlo, que

Sólidos Platónicos

verlo en una pantalla donde simulamos su giro. Para este fin, hay también recortables

y figuras de plástico, aunque a decir verdad, la posibilidad práctica de representar

poliedros con origami son mucho mayores que con recortables.

2) Tanto en el diseño como en el plegado y ensamblaje de los módulos, se experimentan

de una forma muy sencilla las propiedades de los poliedros tales como grado de

un vértice, regularidad y simetría, ya que en su diseño intervienen de forma decisiva

los conceptos de arista, índice, cara, vértice, y otros más sofisticados como dualidad,

colorabilidad, característica de Euler-Poincaré e incluso curvatura (en el sentido que

veremos más adelante).

En este apartado, vamos a ver diversos tipos de módulos y de poliedros, y analizaremos la

enjundia matemática que acompaña a su diseño y su hechura. A medida que vamos viendo

modelos, veremos como nos surgirán cuestiones matemáticas que nos harán acercamos a

diversos resultados matemáticos sobre poliedros.

2.3. Familias de módulos

Se puede hacer una clasificación de los modulares, fijándonos

en la estructura del poliedro que forman, o mejor dicho,

dependiendo de en qué se fije uno para describir un poliedro:

los vértices, las aristas o las caras. ¿Qué es, al fin y al cabo, un

tetraedro? Podemos definirlo como cuatro vértices equidistantes,

o como seis segmentos dispuestos de una determinada

manera, o como cuatro caras triangulares. En una vuelta de

tuerca sorprendente, un cubo puede definirse como un tetraedro

estrellado. Todo esto es fácil de experimentar con la papiroflexia.

Según esto, distinguimos tres tipos de módulos:

1) Módulos basados en las aristas. Suelen ser los de ensamblaje más sólido. Cada módulo

corresponde a una arista, lo cual hay que tener en cuenta a la hora de diseñarlos. Por

lo general, suelen presentar caras perforadas, que nos permiten ver el interior.

2) Módulos basados en las caras. Parece lo más natural, pero no siempre es lo más fácil

de diseñar en papiroflexia. Los empalmes suelen ser más débiles, lo cual se debe a

que las caras se juntan entre sí de dos en dos, mientras que las aristas se juntan de más

en más en cada vértice.

3) Módulos basados en los vértices. Los más importantes son de tipo giroscopio (ver

[SAG]). Muy versátiles y resultones. Dentro de este tipo, se pueden clasificar por el

grado: los que agrupan aristas de 3 en 3, de 4 en 4...

2.4. Módulos de tipo Sonobè: poliedros estrellados

Son probablemente los módulos más populares y se deben al japonés Mitsunobu Sonobè.

Estos módulos se juntan de 3 en 3 para formar una pirámide con base un triángulo equilátero

y con ángulos rectos en el vértice. Son, por lo tanto, muy adecuados para construir poliedros

180 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA

José Ignacio Royo Prieto

Octaedro con el módulo giroscopio

estrellados cuyas caras son triángulos (icosaedro estrellado,

octaedro estrellado...).

Podemos considerar que estos módulos pertenecen la familia

de las caras, pero no sólo los podemos usar con caras triangulares:

podemos juntarlos de 4 en 4, obteniendo como base un

cuadrado y sobre él, lo que podríamos denominar una estrellación

de segunda especie (cuatro pirámides cuyas bases no

caen en un plano). De la misma manera, juntándolos de diversas

maneras podemos obtener polígonos con estrellaciones

muy barrocas, donde las caras aparecen de una manera más

especial, pero con su sentido artístico y estructural (ver [Kasa]).

2.5. Coloración

Un reto interesante sobre el módulo Sonobè consiste en colorear sus caras de una forma coherente.

Para abordar esto, nos será útil el concepto de grafo de un poliedro.

2.5.1. Grafo de un poliedro

Sin querer ser demasiado preciso, un grafo

es un complejo finito de vértices y aristas.

Un grafo es plano si se puede dibujar en R2

de modo que las aristas no se corten, tan

sólo pueden juntarse en los vértices. En un

grafo, consideraremos vértices, aristas y

caras. Llamaremos grado de un vértice al

número de aristas que concurren en él. A

todo poliedro podemos asociar de forma

fácil un grafo plano. Basta tomar una cara y

realizar una suerte de proyección estereográfica

en el plano. Por supuesto, consideramos

la componente no acotada como

una cara.

Una ventaja de los grafos es que nos permite estudiar los poliedros de una forma más fácil que

representándolos en el espacio.

2.5.2. Coloración de isocaedros

Entendemos por una buena coloración a la asignación de colores a los vértices, aristas o caras

de modo que cumplan alguna regularidad, por lo general, del tipo de que elementos contiguos

tengan colores distintos.

Para pensar en una coloración del icosaedro estrellado con módulos Sonobè, habrá que conseguir

su grafo a partir del de nuestro icosaedro, sin más que unir en cada uno de sus triángulos

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Matemáticas y Papiroflexia

Grafos de los sólidos platónicos

Icosaedro Estrellado

con módulos Sonebè

el punto medio con sus vértices.

El grafo que así obtenemos

es el de un triacontraedro.

Como éste es dual del

icosidodecaedro, nos basta

colorear las aristas de éste

último. Si nos fijamos en los

módulos de Sonobè, además,

tenemos que por cada

módulo, coloreamos dos

aristas “contiguas” del icosaedro

estrellado. Esto nos

sugiere construir seis circuitos

de colores de la forma en que vemos en la ilustración, obteniendo seis “círculos máximos”

sobre el icosaedro estrellado. Volviendo al módulo de Sonobè, si quiero hacer una coloración

con tres colores, he de elegir los circuitos máximos de dos en dos, y en los puntos de cruce

de ambos circuitos, dejar que pase el uno sobre el otro, y el otro sobre el uno. De esta forma,

obtenemos un arlequinado del icosaedro estrellado Sonobè tal que en cada vértice se unen

los tres colores. Como vemos, para colorear un icosaedro estrellado, hay que pensar en un

icosidodecaedro.

2.5.3. Dualidad

Otro concepto que se puede representar con la papiroflexia es la dualidad de poliedros. Dado

un poliedro, podemos tomar los puntos medios de cada cara,

y unir los de caras contiguas. Sorprendentemente, mediante

este procedimiento obtenemos un nuevo poliedro. Para comprender

mejor la idea, vamos a expresarla con grafos: se construye

el dual de un grafo como el grafo que tiene como puntos

los puntos medios de cada cara, y que tiene como aristas

las aristas que resultan de unir los puntos pertenecientes a

caras contiguas, atravesando las aristas originales. Poliedros

duales corresponden a grafos duales. La relación “ser duales”

es recíproca.

De este modo, se puede comprobar que el dual del tetraedro

es el mismo tetraedro, el dual del icosaedro es el dodecaedro, y el dual del cubo es el octaedro.

En papiroflexia podemos representar esa dualidad valiéndonos de que los módulos de

tipo arista del dodecaedro tienen agujeros, además de usar un material transparente como lo

es el acetato.

2.6 Cinco tetraedros intersecados

Vamos a construir un objeto muy venerado por matemáticos y papiroflectas. Si tomamos en

un dodecaedro cuatro vértices equidistantes, obtendremos un tetraedro. Como tenemos exactamente

veinte vértices, podemos insertar cinco tetraedros en el dodecaedro. Este objeto se

puede construir en papiroflexia, y constituye un complejo y entretenido rompecabezas (ver

[Hull1]). Para resolverlo, hay que fijarse en las mil y una simetrías de este objeto. La clave para

182 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA

José Ignacio Royo Prieto

Seis ciclos en un icosidodecaedro; Grafo del triacontaedro.

Dualidad icosaedro-dodecaedro

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Matemáticas y Papiroflexia

la construcción consiste en que si tomamos cualesquiera dos

de estos tetraedros, un vértice de uno de ellos sale exactamente

por el medio de una cara del otro, y lo mismo pero

intercambiando los papeles ocurre en la parte opuesta. Con

este objeto se puede visualizar que el grupo de rotaciones del

dodecaedro es grupo alternado de cinco letras. Esto resulta de

que al girar el dodecaedro estamos intercambiando los cinco

tetraedros entre sí.

Hay otras composiciones realizables con papiroflexia, como

los cinco octaedros que hay insertados en un icosidodecaedro.

En cambio, la composición de cinco cubos que hay en un

dodecaedro presenta una dificultad añadida, pues las aristas de esos cubos se intersecan, y no

podríamos usar la técnica de los módulos tipo arista que hemos usado para los tetraedros.

2.7. Balones de fútbol o Fullerenos

2.7.1. El objeto

Si miramos con atención un balón de fútbol, veremos que está formado por hexágonos y pentágonos,

de modo que en cada vértice se juntan dos hexágonos y un pentágono. Podemos contar

con cuidado y comprobar que tiene 12 pentágonos. Contar los hexágonos del balón parece

más complicado, pero podemos valernos su estructura: si contamos por cada pentágono sus

cinco hexágonos adyacentes, obtenemos 60 hexágonos, pero cada uno de estos, al tocar a 3

pentágonos, lo hemos contado 3 veces, de modo que en realidad hay 20 hexágonos. El balón

de fútbol es un poliedro semirregular (son como los regulares, pero usando dos tipos de polígonos;

hay sólo 13 y se llaman arquimedianos), y su auténtico nombre es icosaedro truncado.

2.7.2. Fullerenos

Un fullereno es un poliedro formado

por pentágonos y hexágonos, de

modo que todos los vértices son de

grado 3. Su nombre está puesto en

honor al arquitecto Richard Buckminster

Fuller (1895-1983), que

construyó un pabellón esférico futurista

con esa estructura en la

Exposición Universal de Montreal de

1967. Más tarde, se ha llamado

fullereno a la tercera forma alotrópica

del carbono (las otras dos son el diamante y el grafito), y ha resultado ser una forma

extraordinariamente estable, descubierta en 1985 y cuyo descubrimiento fue merecedor de

un premio Nobel. Las moléculas del fullereno usual tienen 60 átomos de Carbono colocados

en los vértices de un balón de fútbol, pero hay muchos más fullerenos. Para construir

fullerenos de papiroflexia es muy adecuada la pieza en zig-zag de Tom Hull (ver [Hull1]),

pues cada módulo representa una arista y las aristas se juntan de tres en tres (ver dibujo en

el apartado 2.9).

Cinco tetraedros intersecados

Icosaedros truncados con módulos de vértices y aristas

2.8. Característica de Euler

Una de las propiedades más valiosas de los poliedros es una fórmula atribuida a Euler, aunque

anteriormente Descartes había encontrado una fórmula equivalente, que apareció 200

años después de ser escrita, entre los papeles de Leibnitz. Es el siguiente y bonito teorema:

Teorema (Fórmula de Euler): Sea un poliedro homeomorfo a una esfera con V vértices, A aristas

y C caras. Entonces, se cumple la fórmula:

V-A+C=2.

Podemos comprobar esta fórmula con los sólidos platónicos, con el balón de fútbol y con los

poliedros estrellados que hemos visto aquí. Esta fórmula también la cumplen los grafos planos.

De hecho, la propiedad es topológica: si hacemos cualquier triangulación sobre una

esfera o sobre un espacio homeomorfo, se seguirá cumpliendo la fórmula. Se puede asociar a

cada espacio topológico “razonable” un número llamado característica de Euler-Poincaré, que

se define como la suma alternada de sus números de Betti. Es un invariante topológico importantísimo,

y generaliza la suma alternada que antes hemos expresado como “vértices menos

aristas más caras”. En este sentido, la fórmula de Euler dice ni más ni menos que la característica

de Euler-Poincaré de la esfera es 2. Con la característica de Euler-Poincaré es fácil probar,

por ejemplo, el teorema de Teeteto sobre los cinco sólidos platónicos.

Volviendo a nuestros fullerenos, si llamamos H al número de hexágonos y P al número de pentágonos,

podemos calcular cuántos vértices, aristas y caras hay. Explícitamente,

Si sustituimos ahora en la fórmula de Euler, obtenemos fácilmente

y concluimos P=12, de modo que sea lo grande que sea el fullereno,

las condiciones que le hemos puesto fuerzan a que haya

siempre 12 pentágonos, si bien no hemos obtenido ninguna condición

sobre los hexágonos. De hecho, podemos interpretar el dodecaedro

como un fullereno sin hexágonos. Un método para generar

fullerenos es truncar un icosaedro (tiene 12 vértices, de donde

obtenemos los 12 pentágonos) y subdividir las caras triangulares en

nuevos triangulitos más pequeños. Calculando el dual de este

grafo, obtenemos un nuevo poliedro que es un fullereno.

Cabe preguntarnos si estas construcciones son meramente topológicas,

es decir, si los grafos que construimos tienen una realización

en un poliedro convexo real. No tenemos aparentemente ninguna

razón para pensar que para todo grafo vaya a suceder eso. Es clara

la existencia de un poliedro “esférico” que realice cada grafo, pero

otra cosa es que las caras que obtengamos sean planas. Aunque

nuestros fullerenos podamos construirlos efectivamente con papiroflexia

(ver [Hull1]), a uno le podría quedar la duda de si está

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José Ignacio Royo Prieto

5P + 6H

3

5P + 6H

V = ;A = 2 ;C = P + H

5P + 6H

3

5P + 6H

-- 2 + (P + H) = 2 ˛ P=12

Construcción de fullerenos

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Matemáticas y Papiroflexia

construyendo poliedros “de verdad” o si es la flexibilidad del papel la que nos los permite

construir, no yaciendo cada cara en un plano. Para responder a esta cuestión, tenemos el

siguiente y clásico teorema:

Teorema [Steinitz] Un grafo representa a un poliedro convexo de IIR3 si y sólo si es plano y 3-

conexo.

La propiedad de ser 3-conexo significa que hay que quitar por lo menos tres vértices al grafo

plano para dividirlo en dos componentes conexas. Así que como nuestros fullerenos tienen

grafos planos y 3-conexos, nos quedamos tranquilos. Otra cuestión es saber cuándo un grafo

se puede realizar como un poliedro inscribible en una esfera. Esta cuestión se conoce como

Problema de Steinitz y ha obtenido recientemente respuestas parciales con métodos de geometría

computacional.

2.9. Toros modulares

Un toro es el nombre matemático por el que se conoce a la

superficie de un flotador o un donuts. Viene del griego torew,

que significa agujero, perforar. Vamos a ilustrar el interés matemático

de la construcción de un toro de papiroflexia con una

anécdota personal. La historia empieza al conseguir una foto

en internet de un toro modular, diseñado por el italiano

Roberto Gretter con las mismas piezas zig-zag de Hull. Como

con los fullerenos, podemos contar cuántos pentágonos y

hexágonos iban a ser necesarios. La característica de Euler-

Poincaré del toro es 0, con lo cual, aplicando la fórmula de

Euler para toros:

V - A + C = 0,

y sustituyendo con el número H de hexágonos y P de pentágonos, obtenemos:

con lo que llegamos a que no se puede construir un toro con hexágonos y pentágonos de 3

en 3, esto es una restricción topológica. Sin embargo, en el toro de la foto claramente se le

adivinan pentágonos en la parte exterior. El error consistió en no haberse percatado de que,

además de pentágonos y hexágonos, el toro por la parte interna tenía heptágonos. Teniendo

esto en cuenta, la fórmula de Euler nos proporciona:

con lo que la condición es que haya el mismo número de heptágonos que de pentágonos. Con

ese dato, y calculando que hubiera 10 pentágonos en la composición, es un entretenido rompecabezas

construir un toro modular.

Como vemos, la discusión matemática previa al diseño es exclusivamente topológica (hemos

utilizado el género de la superficie que queremos conseguir). No hemos obtenido un poliedro,

Toro modular

5P + 6H

3

5P + 6H

2

-- + (P + H) = 0 ˛ P = 0!!!

5P + 6H + 7Hp

3

5P + 6H + 7Hp

2

-- + (5P + 6H + 7Hp) = 0 ˛ P = Hp,

pues salta a la vista que las caras que tenemos no son planas. No obstante, la enjundia de este

modelo no es sólo topológica, sino también geométrica.

Podemos fijarnos en que el toro tiene los 10 pentágonos por fuera y los heptágonos por dentro.

El toro usual con la métrica usual, sabemos que tiene curvatura positiva por fuera (se asemeja

a un balón), negativa por dentro (se asemeja a una silla de montar) y como la curvatura

es una aplicación continua, se tiene que anula entre medio. De hecho, por fuera, los pentágonos

están rodeados de hexágonos, lo cual nos puede recordar al balón de fútbol.

Ciertamente, la coloración del toro está en función de la curvatura: roja allá donde es positiva,

morado donde es negativa, y amarillo cuando más se acerca a cero.

La razón por la cual nuestro toro modular adquiere esta curvatura no es topológica, sino geométrica,

y de hecho se debe a la forma que tienen los módulos que estamos empalmando. Al

formar un heptágono con los módulos zig-zag, vemos que adquiere por sí solo curvatura negativa,

al plegar un hexágono, se puede posar tranquilamente sobre una mesa (curvatura cero),

y al plegar un pentágono, las aristas adquieren curvatura positiva. Al analizar los empalmes

de los módulos, vemos que forman pirámides que tiene como base un triángulo equilátero, y

se unen desde la mitad del lado, como se ve en el dibujo. Si ponemos seis triángulos de esa

manera, montan perfectamente. Si ponemos sólo cinco, nos falta un poco de ángulo para

completar 2p radianes. Eso que falta se

puede interpretar como el exceso de

ángulo en un punto interior del pentágono,

y es lo que proporciona la curvatura

positiva. Cuando ponemos siete

triángulos, en vez de faltar, sobra

ángulo, y eso es porque en el interior

hay curvatura negativa.

Un interesante reto consiste en diseñar

toros con este mismo módulo usando

la menor cantidad de piezas posible. El toro de Gretter tiene 555 piezas. Tom Hull y sus alumnos

han diseñado diferentes modelos de 240, 105 y 81 piezas, llegando al límite de lo físicamente

constructible. En vez de heptágonos, se usan octógonos y decágonos para dar curvatura

negativa (cuanto menos piezas, menor tendrá que ser la curvatura, intuitivamente). La fórmula

de Euler nos dice que tiene que tener el doble de pentágonos que de octógonos, y si usámos

decágonos, hay que usar 4 veces más pentágonos que decágonos.

3. CONSTRUCTIBILIDAD DE PUNTOS EN ORIGAMI

La papiroflexia, o mejor dicho, el ejercicio de doblar

papel se puede usar con fines pedagógicos para estudiar

e ilustrar la geometría elemental plana. Sobre ello hay

numerosos libros, siendo una excelente referencia el de

Sundara Row ([Row]), donde se proponen diversos ejercicios

mediante los que se resuelven problemas referentes

a cónicas, ecuaciones polinómicas y trigonometría

utilizando tan sólo los dobleces del papel.

186 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA

José Ignacio Royo Prieto

Pentágono y hexágono con módulos zig-zag de Hull

Dominio fundamental (Sarah Belcastro)

Octubre 2002 • 2002 Urria 187

Matemáticas y Papiroflexia

La clave consiste en interpretar geométricamente qué estamos haciendo cuando doblamos el

papel. Por ejemplo, cuando doblamos los dos lados que concurren en una esquina, uno sobre

el otro, estamos calculando una bisectriz. Cuando llevamos un punto del papel sobre otro y

doblamos, estamos trazando la mediatriz del segmento que definen los dos puntos. Con papiroflexia

es sencillo dibujar un montón de rectas tangentes a una parábola dada por su foco y

su recta directora, probar que el área de un triángulo es base por altura partido de dos, o sumar

la serie S 1/2n, sin más que hacer unos cuantos dobleces y pensar su significado. Las posibilidades

pedagógicas del plegado son muchas, pero no entraremos en ello, sino más bien en

analizar qué puntos son constructibles con origami, de la misma manera en la que se estudia

qué puntos son constructibles con regla y compás.

En 1995, D. Auckly y J. Cleveland publicaron una nota en el American Mathematical Monthly

en la cual probaban que todo punto constructible con papiroflexia era constructible con regla

y compás, pero que el inverso no era cierto. Sin embargo, tal y como hace notar Tom Hull en

la misma revista (ver [Hull3]), hay un método desarrollado por el japonés Hisashi Habe en la

década de los 70, mediante el cual se puede trisecar cualquier ángulo dado, con un par de

pliegues que son perfectamente razonables en origami, tal y como vemos en la figura. ¿Dónde

está la contradicción? Lo que ocurre es que a la hora de definir los números constructibles con

papiroflexia, hay que realizar una axiomática de lo que consideramos “razonable” de obtener

en papiroflexia plegando. En la literatura de la papiroflexia se pueden encontrar métodos para

trisecar ángulos, duplicar cubos y doblar heptágonos regulares, todos ellos con pliegues sencillos.

Se debe al italo-japonés Humiaki Huzita la formulación de la axiomática más utilizada para

definir los puntos constructibles con papiroflexia:

[O1] Dados dos puntos p1 y p2 constructibles,

podemos construir la línea que los une;

[O2] El punto de coincidencia entre dos líneas constructibles

es constructible;

[O3] Dado un segmento delimitado por dos puntos

constructibles, su bisectriz es constructible;

[O4] La bisectriz del ángulo formado por dos líneas constructibles

es constructible;

[O5] Dados dos puntos p1 y p2 y una línea l1 constructible,

la línea que pasa por p1 y que refleja a

p2 sobre l1 es constructible;

[O6] Dados dos puntos p1 y p2 constructibles, y dos líneas constructibles l1 y l2, la línea que

refleja a p1 en l1 y a p2 en l2, si es que existe, es constructible.

Era conocido entre los griegos desde tiempos

de Arquímedes que si se podían hacer dos marcas

en una regla, entonces se podía conseguir

la trisección del ángulo, de modo que dado que

en un borde del papel se puede calcular 1/2,

1/4, 1/8 y así, no es sorprendente que se puedan

hacer cosas en origami tales como trisecar

ángulos.

Los cuatro primeros axiomas se pueden alcanzar con regla y compás. El quinto, también, y

de hecho, los puntos constructibles con regla y compás son exactamente los mismos que los

constructibles con los cinco primeros axiomas, y que es equivalente al menor subcuerpo del

cuerpo de los números complejos C, cerrado por raíces cuadradas. El sexto axioma es equivalente

a la construcción de una tangente común a dos parábolas, exactamente a las definidas

por p1,l1 y p2,l2. Se puede probar que hacer esto es equivalente a resolver una ecuación

de tercer grado.

En un artículo de Roger Alperin aparecido en el New York Journal of Mathematics (ver [Alp]),

se hace una discusión del alcance de los axiomas presentados, y se caracterizan los “puntos

de origami” como aquellos números del plano complejo C constructibles tras la aplicación

finita de los axiomas O1-O6. El resultado central es:

Teorema [Alperin]: El conjunto O de los puntos los puntos constructibles con origami se

puede caracterizar de las siguientes maneras:

i) el menor subcuerpo de C cerrado por raíces cuadradas, cúbicas y conjugación compleja;

ii) el conjunto de los puntos constructibles por intersección de líneas constructibles y cónicas

constructibles (con directrices, focos, radios y excentricidades constructibles).

188 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA

José Ignacio Royo Prieto

4. MÉTODOS MATEMÁTICOS DE DISEÑO

Lo que hemos visto hasta ahora no tiene mucho que ver, en un principio, con las maravillosas

figuras de papel con tantas patas, alas y cuernos que pueblan el repertorio de la papiroflexia.

En este apartado, vamos a tratar de explicar cómo los mejores plegadores del mundo

usan las matemáticas para sus diseñar sus modelos.

4.1. Propiedades del mapa de cicatrices de una figura plana

Como hemos comentado antes, al desplegar un

modelo de origami descubrimos en el cuadrado

un fenomenal mapa de pliegues, un grafo, al fin

y al cabo, donde se me forman valles (pliegues

donde la arista está más baja que el papel próximo)

y montañas (pliegues donde la arista del

grafo es una cumbre). El problema que nos planteamos,

en general, es:

Problema: Dado un trozo de papel y un grafo

dibujado en el papel donde cada arista es una

montaña o un valle, ¿cómo podemos saber si es el mapa de cicatrices de un modelo de papiroflexia?

Así planteado, este problema es muy difícil, casi inabordable. Por eso, tal y como se hace en

matemáticas, restringiremos nuestra atención a una clase más sencilla, los modelos planos,

eso es, figuras de papiroflexia que se pueden meter en un libro sin añadir nuevas cicatrices, o

dicho de otro modo, tales que el ángulo diedro en cada arista es múltiplo de p. La gran mayoría

de modelos de papiroflexia cae en esta categoría.

El grafo del mapa de cicatrices de un modelo plano cumple una serie de propiedades, que han

sido estudiadas por diversos plegadores, y que listamos a continuación. Las pruebas son elementales,

pero no triviales:

• (Maekawa) La diferencia entre el número de pliegues en montaña y en valle en un vértice

es siempre 2.

• El grado de cada vértice es par.

• (Meguro) Las caras de un mapa de cicatrices son 2-coloreables.

• (Kawasaki) Sean a1 ,..., a2k todos los ángulos concurrentes en un vértice, contiguos

cada uno con el siguiente. Entonces, tenemos:

a1 +a3 +... +a2k-1 = a2 +a4 +... +a2k = p

• (Hull) La condición anterior es una condición suficiente.

Octubre 2002 • 2002 Urria 189

Matemáticas y Papiroflexia

Mariquita (Tanaka Masashi) y mapa de cicatrices

T. Hull en [Hull2] halla más resultados sobre las propiedades que tiene que cumplir un grafo

para corresponder a un modelo plano, y sobre las posibles asignaciones valle-montaña que

tiene un grafo determinado.

4.2. Método de Meguro-Kawahata-Lang

Los resultados anteriores nos hablan de propiedades

que ha de tener un mapa de cicatrices para que pueda

convertirse en un modelo plano, pero otra cuestión

distinta es, por ejemplo, si queremos diseñar un ciervo,

o una lagartija, cómo nos las podemos ingeniar. Un

método es el tan recurrido ensayo-error, basado en la

experiencia, el cual tiene sus límites, sobre todo si queremos

conseguir un modelo complicado como puede

ser un insecto. A continuación voy a intentar describir la formalización del problema que han

realizado diversos plegadores, en particular, Toshikuyi Meguro, Fumiaki Kawahata y Robert

Lang.

Una base es una aproximación esquemática a la figura que queremos obtener. La base resulta

de un número finito de pliegues, en cuya forma final se pueden observar las solapas y puntas

necesarias, con las longitudes deseadas que nos llevarán al modelo que queremos. Una vez

obtenida la base, no es difícil llegar al modelo, o por lo menos, ya es una cuestión artística y

abordable.

Consideraremos un tipo de bases: aquellas en las que se pueden distribuir las puntas de modo

que la base se proyecta ortogonalmente en un grafo plano, simple y sin caras, tal y como

vemos en la figura. El problema va a ser saber si dado un grafo de este tipo vamos a poder

encontrar un mapa de cicatrices que me proporcione una base que se proyecte sobre ese

grafo.

4.2.1. Método Meguro-Kawahata de las hipérbolas

Vamos a ilustrar la respuesta que dan Meguro y

Kawahata (ver [Kawa] y [Voy]) al problema anterior

mediante el siguiente gráfico. En primer lugar, idealizamos

nuestro modelo. Luego, cuando tenemos el grafo,

hemos de distribuir en el papel las puntas de la base, de

la siguiente manera. Luego, nos hemos de fijar en lo

siguiente: cuando queremos conseguir dos puntas independientes,

en un triángulo, se hace doblando por las

tres bisectrices y una de las alturas desde el incentro. Por

lo tanto, al pensar que tenemos que meter aquí el tercer

vértice de un triángulo, hay que calcular el lugar geométrico

de los posibles vértices tal que el incentro cumpla

lo que ha de cumplir, y un cálculo sencillo nos proporciona

que ese lugar geométrico es una hipérbola.

Entonces allá donde se corten las hipérbolas, o donde

se corten con pliegues o puntos que hayamos impuesto,

como una diagonal, por ejemplo, obtenemos nuevos

190 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA

José Ignacio Royo Prieto

Base proyectable y mapa de cicatrices

de un modelo plano

Aplicación del método F. Kawahata

Octubre 2002 • 2002 Urria 191

Matemáticas y Papiroflexia

puntos de nuestro mapa de pliegues. Con este método

podemos tener una primera aproximación al modelo.

Luego habría que rellenar los pliegues, para lo que hay

otros razonamientos geométricos elementales. El resultado

que consigue Kawahata con este método es francamente

impresionante.

4.2.2. El Treemaker de R. Lang

El método del árbol (grafo sin caras) de Lang es un método de similar estructura al de

Kawahata. Lang permite que los vértices del grafo del modelo estén también en el interior del

cuadrado de papel. Vamos a ilustrar su método con el siguiente ejemplo: Para conseguir un

perro, diseña un grafo con aristas de determinada longitud, y las distribuye en el cuadrado

intentando aprovechar toda la superficie del cuadrado. Ahora cabe plantearse si existirá un

mapa de cicatrices conteniendo este árbol que nos lleve a la base deseada. Lang ha encontrado

una condición necesaria y suficiente para la existencia de un tal mapa de cicatrices, tal

y como se enuncia en el siguiente (ver [Lang2]):

Teorema (del árbol de Lang):

Sea un árbol T simplemente conexo con puntos terminales P1,..., Pn, y sean lij las distancias

entre Pi y Pj medidas a lo largo de las aristas del árbol. Sea un conjunto de puntos ui en el

cuadrado unidad. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que exista un mapa de

cicatrices que transforme el cuadrado en una base cuya proyección sea el árbol T es:

ui - uj ² li j i,j

Más aún, en dicha base, cada punto Pi es la proyección del punto ui para todo i.

De la prueba, que no es en absoluto trivial, se desprende una manera de construir un algoritmo

que calcule el mapa de cicatrices deseado. El autor ha implementado el algoritmo en un

programa de ordenador para Macintosh, el Treemaker, de libre distribución.

Tanto del método de Kawahata-Meguro como del de Lang, por supuesto, se derivan problemas

adicionales. El primero es obtener mediante dobleces los ángulos que proporciona el

método. El segundo consiste en que, aun obteniendo un mapa de cicatrices, encontrar una

secuencia de plegado que nos lleve hasta la figura deseada es realmente complejo. No todo

en papiroflexia se basa en métodos matemáticos; la experiencia y la componente artística no

se pueden dejar de lado. Esto viene muy bien reflejado en el siguiente Origag :

A

Pliegue oreja de conejo

Lugar geométrico de los incentros

5. CONCLUSIONES

Como conclusión, quisiéramos señalar que las conexiones entre las matemáticas y la papiroflexia

no son meramente anecdóticas, y de hecho hemos visto cómo afloran de formas muy

distintas. No en vano, en Japón se celebran con frecuencia simposios de matemáticos papiroflectas

donde exponen y comparten sus técnicas, y aparecen salpicadamente artículos de

papiroflexia en diversas revistas matemáticas (no sólo de divulgación). La papiroflexia constituye

una atractiva forma de acercarse a las matemáticas, y queremos reivindicar desde estas

líneas un hueco para esta bella arte en la enseñanza, por su riqueza cultural y su gran valor

pedagógico.

6. BIBLIOGRAFÍA

[Alp] R.C. Alperin, “A mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers”,

New York J. Math, 6 (2000) 119-133.

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[Hull1] T. Hull, “Página web de Tom Hull“, http://web.merrymack.edu/~thull/

[Hull2] T.Hull, “On the mathematics of flat origamis“, Congressus Numerantium 100,

215-224, (1994).

[Hull3] T.Hull, “A note on «Impossible» Paper Folding“, Amer. Math. Monthly, 103

240-241, (1996).

[Kasa] K.Kasahara, T.Takahama, “Origami para expertos“, Edaf, 2000 (prev. 1987)

[Kawa] F. Kawahata, “The technique to fold free angles of formative art «origami»”,

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Japón,1994.

[Lang1] R. Lang, “The Complete book of Origami“, Dover, 1989.

[Lang2] R.Lang, “TreeMaker 4.0: A program for Origami Design“,

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[Row] S.Row, “Geometric exercises in paper folding“, Dover 1966 (1ªed. 1905).

[SAG] L.Simon, B.Arnstein, R.Gurkewitz, “Modular Origami Polyhedra“, Dover, 1999.

[Voy] J.A.Voyer, “Introducción a la Creación“,

(Seres de Ficción, El lado oscuro de la Papiroflexia), Ed. Salvatella, 2000.

[AEP] “Página web de la Asociación Española de Papiroflexia“, http://www.pajarita.org

192 SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA

José Ignacio Royo Prieto

Origag, de Roberto Morassi (1984)

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